1. \( (1 - ax)^6 \)
2. \( \left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{2}{y}\right)^4 \)
4. \( \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^6 \)
5. \( (1 - x + x^2)^4 \)

1. \( (3 - x)^5 \)
   [ঢাকা বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৩(ক)]
2. \( (2 + x^2)^5 \)
3. \( \left(3x - \dfrac{y}{4}\right)^4 \)

1. \( \left(\dfrac{4x}{5} - \dfrac{5}{2x}\right)^9 \) এর বিস্তৃতিতে 7ম পদটি নির্ণয় কর।
2. \( \left(x - \dfrac{1}{x^2}\right)^{3n} \) এর বিস্তৃতিতে \( n \) তম পদটি নির্ণয় কর।
3. \( \left(\dfrac{4x}{5} - \dfrac{5}{2x}\right)^8 \) এর বিস্তৃতিতে শেষ থেকে 3য় পদটি নির্ণয় কর।

1. \( \left(x^2 + \dfrac{2y}{x}\right)^{10} \) এর বিস্তৃতিতে \( x^8 \) এর সহগ নির্ণয় কর।
2. \( \left(x^2 + \dfrac{3a}{x}\right)^{15} \) এর বিস্তৃতিতে \( x^{18} \) এর সহগ নির্ণয় কর।
   [কু: বো: ১০]
3. \( \left(2x - \dfrac{1}{x^2\sqrt{3}}\right)^{10} \) এর বিস্তৃতিতে \( x^{-2} \) এর সহগ নির্ণয় কর।
4. \( \left(2x^3 - \dfrac{1}{x}\right)^{20} \) এর বিস্তৃতিতে \( x^{12} \) সম্বলিত পদের সহগ নির্ণয় কর।
   [ঢাকা, দিনাজপুর, যশোর ও সিলেট বোর্ড–২০১৮ এর সৃজনশীল–৩(গ)]
5. \( (1 + x + x^3)^9 \) এর বিস্তৃতিতে \( x^5 \) এর সহগ নির্ণয় কর।

1. দেখাও যে, \( (1 + x)^4 (1 + x^2)^5 \) এর বিস্তৃতিতে \( x^5 \) এর সহগ 60।
2. দেখাও যে, \( (1 - x)^8 (1 + x) \) এর বিস্তৃতিতে \( x^7 \) এর সহগ 35।
   [কু: বো: ১১; য: বো: ০৬]
3. \( (1 + x)(a - bx)^{12} \) এর বিস্তৃতিতে \( x^8 \) এর সহগ 0 হলে, \( \dfrac{a}{b} \) অনুপাতের মান নির্ণয় কর।
   [কুয়েট ১৩–১৪, ০৫–০৬; বুয়েট ০১–০২, ৯৬–৯৭;]

নিম্নলিখিত রাশিগুলির বিস্তৃতিতে \( x \) বর্জিত পদটি বের কর এবং এর মান নির্ণয় করঃ

1. \( \left(x^2 - 2 + \dfrac{1}{x^2}\right)^6 \)
   [কু: বো: ১৩; য: বো: ০৭; ব: বো: ১৫]
2. \( (1 + x)^p \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^q \), যেখানে \( p \) ও \( q \) ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
   [ঢা: বো: ১২; কু: বো: ০৭; রা: বো: ১১; চ: বো: ১১, ০৬; সি: বো: ১০; ব: বো: ১৫]
3. \( \left(2x - \dfrac{1}{4x^2}\right)^{12} \)
   [কুয়েট ০৪–০৫; ঢা. বি. ১৫–১৬; ঢা: বো: ১৫, ১৪, ০৭; দি: বো: ১৬, ১২; সি: বো: ১১; ব: বো: ১২]
4. \( \left(2x^3 - \dfrac{1}{x}\right)^{12} \)
   [য: বো: ০৬; রা: বো: ১৬; সি: বো: ০৬; দি: বো: ১০]
5. \( \left(3x - \dfrac{2}{x^2}\right)^{15} \)
   [কু: বো: ০৯]
6. \( (1 + 4x)^p \left(1 + \dfrac{1}{4x}\right)^q \), যেখানে \( p \) ও \( q \) ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
7. \( \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^{2n} \)
   [চ: বো: ০৯]

1. \( \left(\sqrt{x} - \dfrac{k}{x^2}\right)^{10} \) এর বিস্তৃতিতে \( x \)-বর্জিত পদ 405 হলে \( k \) এর মান নির্ণয় কর।
2. \( \left(\dfrac{x^4}{y^3} + \dfrac{y^2}{2x}\right)^{10} \) এর বিস্তৃতিতে \( y \)-বর্জিত পদটি বের কর এবং এর মান নির্ণয় কর।

1. \( \left(3 + \dfrac{x}{2}\right)^n \) এর বিস্তৃতিতে \( x^7 \) এবং \( x^8 \) এর সহগদ্বয় সমান হলে (\( n \) একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা), \( n \) এর মান নির্ণয় কর।
   [ঢাকা বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–(খ); বুয়েট ০৬–০৭; ঢা: বো: ১৬, ১১; রা: বো: ০৯; সি: বো: ১২; য: বো: ১০, ০৮; মাদ্রাসা বো: ১২]
2. \( (1 + x)^{2n+1} \) এর বিস্তৃতিতে \( x^r \) এর সহগ ও \( x^{r+1} \) এর সহগ সমান হলে, \( r \) এর মান নির্ণয় কর।
3. \( (1 + x)^{18} \) এর বিস্তৃতিতে \( (2r + 4) \) তম পদের সহগ ও \( (r - 2) \) তম পদের সহগ সমান হলে, \( r \) এর মান নির্ণয় কর।
4. \( (1 + x)^n \) এর বিস্তৃতিতে \( (r + 1) \) তম পদের সহগ \( (r + 3) \) তম পদের সহগের সমান হলে, দেখাও যে, \( 2r = n - 2 \) (\( n \in \mathbb{N} \))।
   [কু: বো: ০৬; চ: বো: ১৬]

নিম্নলিখিত রাশির বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্ণয় কর:

1. \( \left(3x^2 - \dfrac{1}{2x}\right)^8 \)
2. \( \left(\dfrac{a}{x} + \dfrac{x}{a}\right)^{2n+1} \)
3. \( \left(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}\right)^{17} \)
4. \( \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^{17} \)
5. \( \left(2x^2 - \dfrac{3}{x}\right)^{12} \)
   [দিনাজপুর বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–(ক)]
6. \( \left(3x^2 - \dfrac{1}{x}\right)^9 \)

1. দেখাও যে, \( (1 + 2y)^{2n} \) রাশিটির বিস্তৃতিতে মধ্যপদের মান \[ \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 1)}{n!} \; 2^{2n} \; y^n, \] যেখানে \( n \in \mathbb{Z} \)।
   [সিলেট বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–(গ)]
2. দেখাও যে, \( \left(x + \dfrac{1}{2x}\right)^{2n} \) এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ \[ \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 1)}{n!}, \] যেখানে \( n \in \mathbb{N} \)।
3. \( (1 + 3y)^{2n} \) এবং \( n \in \mathbb{Z} \) হলে দেখাও যে, বিস্তৃতির মধ্যপদটি \[ \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (n - 1)}{n!} \; 6^n \; y^n. \]
4. দেখাও যে, \( (1 + x)^{2n} \) এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ \[ \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 1)}{n!} \; 2^n x^n, \] যেখানে \( n \in \mathbb{N} \)।