1. একটি বস্তুকণার উপর সেকেন্ডে 3, 5 ও 7 সেমি. মানের তিনটি বেগ বিভিন্ন দিকে ক্রিয়া করে বস্তুকণাটিকে স্থিতিশীল রাখলে প্রথম দুইটি বেগের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।
   [রাজশাহী, কুমিল্লা, চট্টগ্রাম ও বরিশাল বোর্ড–২০১৮ এর সৃজনশীল–৯(ক)]
2. দুইটি বস্তুকণার বৃহত্তম লব্ধিবেগ 14 মিটার/সেকেন্ড এবং ক্ষুদ্রতম লব্ধিবেগ 2 মিটার/সেকেন্ড। বেগ দুইটি পরস্পর \( 90^\circ \) কোণে ক্রিয়া করলে এদের লব্ধির মান নির্ণয় কর।
3. কোনো সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলির সমান্তরাল গতিপথে কোনো একটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত 1, 2, 3 মানের বেগসমূহের লব্ধি নির্ণয় কর।
4. একটি কণা একটি সরলরেখা বরাবর 3 মি./সে. গতিতে চলছে। 3 সেকেন্ড পর কণাটির গতির সাথে লম্ব বরাবর 4 মি./সে. গতি সংযোজন করা হলো। তার 2 সেকেন্ড পর কণাটি যে বিন্দু হতে প্রথম যাত্রা শুরু করেছিল, তা হতে কত দূরে থাকবে?

1. একটি লঞ্চ ঘণ্টায় 12 কিলোমিটার বেগে চলতে পারে। ঘণ্টায় 6 কিলোমিটার বেগে প্রবাহিত একটি নদীর এক তীরের কোনো বিন্দু হতে কোন দিকে যাত্রা করলে অপর তীরের সোজাসুজি বিপরীত বিন্দুতে পৌঁছাতে পারবে?
2. একটি নদীর স্রোতের বেগ 5 মিটার/সেকেন্ড। 10 মিটার/সেকেন্ড বেগে একটি নৌকা সোজাসুজি পার হতে 1 মিনিট 40 সেকেন্ড সময় নেয়। নদীর প্রস্থ কত?
3. একটি নৌকা \( t \) সময়ে একটি নদী সোজাসুজি পার হতে পারে এবং \( t_1 \) সময়ে স্রোতের অনুকূলে সমান দূরত্ব অতিক্রম করতে পারে। শান্ত নদীতে নৌকার বেগ \( u \) এবং স্রোতের বেগ \( v \) হলে দেখাও যে, \[ t : t_1 = \sqrt{u + v} : \sqrt{u - v}. \]
   [ঢাকা বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(গ); ঢা: বো: ১৪, ০৮; রা: বো: ০৮; কু: বো: ০৮; চ: বো: ০৮; সি: বো: ১৪; মাদ্রাসা বো: ১৫]
4. একজন সাঁতারু আড়াআড়িভাবে \( t_1 \) সময়ে একটি নদী পার হতে পারে। তীরের সমান্তরালে নদীর প্রস্থের সমান দূরত্ব গিয়ে ফিরে আসতে মোট \( t_2 \) সময় লাগে। সাঁতারুর বেগ \( u \) এবং স্রোতের বেগ \( v \) হলে প্রমাণ কর যে, \[ t_1 : t_2 = \sqrt{u^2 - v^2} : u. \]
5. দেখাও যে, স্রোতের বেগের চেয়ে কম বেগে সাঁতারিয়ে কোনো সাঁতারু কখনো সোজাসুজি নদী পার হতে পারবে না।
6. \( u_1 \) ও \( u_2 \) বেগে দুইজন সাঁতারু একজন ক্ষুদ্রতম পথে এবং অপরজন ক্ষুদ্রতম সময়ে নদী অতিক্রম করে। উভয়েরই একই সময় লাগে। দেখাও যে, \[ u_1^2 - u_2^2 = v^2, \] যেখানে স্রোতের বেগ \( v \) এবং \( v < u_1, u_2 \)।
7. 180 মিটার প্রশস্ত একটি স্রোতহীন নদী সাঁতার কেটে পার হতে একজন লোকের 6 মিনিট সময় লাগে। কিন্তু স্রোত থাকলে তা পার হতে 10 মিনিট সময় লাগে। স্রোতের বেগ নির্ণয় কর।
   [দিনাজপুর বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৯(খ)]
8. একজন সাঁতারু \( t_1 \) সময়ে প্রস্থ বরাবর একটি নদী সোজাসুজি পার হতে পারে এবং \( t_2 \) সময়ে স্রোতের অনুকূলে নদীর প্রস্থের দ্বিগুণ দূরত্ব অতিক্রম করতে পারে। শান্ত নদীতে সাঁতারুর বেগ \( u_1 \) এবং স্রোতের বেগ \( u_2 \) হলে দেখাও যে, \[ t_1 : t_2 = \sqrt{u_1 + u_2} : 2\sqrt{u_1 - u_2}. \]
   [বরিশাল বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৯(গ)]
9. সোজাসুজি একটি নদী পার হতে সাঁতারুর \( t_1 \) সেকেন্ড সময় লাগে। স্রোতের অনুকূলে তার বরাবর একই দূরত্ব অতিক্রম করতে \( t_2 \) সেকেন্ড সময় লাগে। সাঁতারুর গতিবেগ 20 cm/s এবং স্রোতের গতিবেগ 10 cm/s হলে \( t_1 : t_2 \) নির্ণয় কর।
   [রাজশাহী বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(খ)]

1. ঘণ্টায় 40 কিলোমিটার বেগে পূর্বদিকে চলমান একটি গাড়ির চালক, ঘণ্টায় \( 40\sqrt{3} \) কিলোমিটার বেগে একটি ট্রাককে উত্তরদিকে চলতে দেখল।
   
   (a) প্রকৃতপক্ষে ট্রাকটি কোন দিকে চলছে?
   (b) ট্রাকটির বেগ কত?
2. একটি স্টীমার ঘণ্টায় \( u \) কিলোমিটার বেগে পূর্বদিকে অগ্রসর হচ্ছে। অপর একটি স্টীমার ঘণ্টায় \( 2u \) কিলোমিটার বেগে পূর্বদিকের উত্তরে \( \theta \) কোণে অগ্রসর হওয়ার সময় প্রথম স্টীমারের একজন যাত্রীর নিকট মনে হয় স্টীমারটি উত্তর-পূর্ব দিকে যাচ্ছে। প্রমাণ কর যে, \[ \theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\!\left(\frac{3}{4}\right). \]
   [দি: বো: ১৬]
3. একজন লোক পশ্চিম দিকে বরাবর 5 কিলোমিটার/ঘণ্টা বেগে চলছে। বৃষ্টি সরাসরি মাথায় 12 কিলোমিটার/ঘণ্টা বেগে পড়ছে। বৃষ্টির প্রকৃত বেগ এবং উলম্ব দিকের সাথে কত কোণে কার্যরত আছে নির্ণয় কর।

প্রমাণ কর / নির্ণয় করঃ

1. দেখাও যে, দুইটি সমান বেগের সমিলিত লব্ধি তাদের অন্তর্গত কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
2. একটি বিন্দুতে দুইটি সমান বেগ ক্রিয়াশীল। এদের একটির মান অর্ধেক হলে, এদের লব্ধি অপর বেগের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা-ও অর্ধেক হয়। বেগদ্বয়ের নতি (অন্তর্গত কোণ) নির্ণয় কর।
3. দুইটি বেগের বৃহত্তম লব্ধি তাদের ক্ষুদ্রতম লব্ধির \( n \) গুণ। বেগদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \( \alpha \) হলে, লব্ধিবেগের মান তাদের সমষ্টির অর্ধেক। দেখাও যে, \[ \cos\alpha = -\,\frac{n^2 + 2}{2(n^2 - 1)}. \]
   [ঢা: বো: ১২, ০৫; রা: বো: ১২, ০৮; দি: বো: ১৫, ১১; কু: বো: ১৫, ১২; চ: বো: ১১, ০৬; সি: বো: ১৫, ১৩; য: বো: ১৫, ০৮; ব: বো: ০৯]
4. কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত \( u \) ও \( v \) বেগদ্বয়ের লব্ধি \( w \)। \( u \)-এর দিক বরাবর \( w \)-এর লম্বাংশের পরিমাণ \( v \) হলে, প্রমাণ কর যে, বেগদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ \[ \cos^{-1}\!\left(\frac{v - u}{v}\right) \] এবং \[ w = \sqrt{v^2 - u^2 + 2uv}. \]
   [সিলেট বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৯(ক); চ: বো: ০৮; দি: বো: ১০]