৯.২ সমত্বরণে চলমান বস্তুর গতি সূত্রাবলী ও লেখচিত্র
ধ্রুবক ত্বরণে চলমান একটি বস্তুর গতি বর্ণনা করতে কয়েকটি মৌলিক সূত্র ব্যবহার করা হয়, যা গতিবিদ্যার ভিত্তি গঠন করে। এই সূত্রগুলোর মাধ্যমে আমরা সময়ের সাথে সাথে বস্তুর বেগের পরিবর্তন, অতিক্রান্ত দূরত্ব এবং বিশেষ করে কোনো নির্দিষ্ট সময়কালে (যেমন বিশেষ এক সেকেন্ডে) অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় করতে পারি। একই সাথে গড়বেগের ধারণা এবং বিভিন্ন গাণিতিক সূত্রের ভৌগোলিক ব্যাখ্যা হিসেবে গতিপথের লেখচিত্র বা গ্রাফের ব্যবহার গতির প্রকৃতি সহজেই বোঝার অন্যতম কার্যকরী পদ্ধতি। এই অধ্যায়ে আমরা সমত্বরণে চলমান বস্তুর তিনটি প্রধান গতি সূত্র, বিশেষ এক সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্বের সূত্র এবং গড়বেগের সাথে তাদের সম্পর্ক বিস্তারিতভাবে আলোচনা করব।
সরলরেখায় সমত্বরণে চলমান বস্তুর গতি সূত্রসমূহ
যখন একটি বস্তু সরলরেখায় ধ্রুবক ত্বরণে চলতে থাকে, তখন এর বেগ, সরণ ও সময়ের মধ্যে তিনটি প্রধান সম্পর্ক বিদ্যমান থাকে। এই সূত্রগুলো ক্যালকুলাসের সাহায্যে বা আকৃতিগত পদ্ধতিতে প্রমাণ করা যায়।
প্রথম সূত্র: বেগ ও সময়ের সম্পর্ক
ধরা যাক, একটি বস্তুর প্রাথমিক বেগ \(u\) এবং ত্বরণ \(a\)। সময় \(t\) পরে এর বেগ \(v\) হলে:
ত্বরণের সংজ্ঞা অনুযায়ী:
\[a = \frac{dv}{dt}\]
অন্তরক করলে: \(dv = a\,dt\)
উভয় পক্ষ সমাকলন করে:
\[\int_{u}^{v} dv = \int_{0}^{t} a\,dt\]
\[v - u = at\]
সুতরাং:
\[v = u + at\]
এই সূত্রটি বলে যে, কোনো বস্তুর বর্তমান বেগ প্রাথমিক বেগের সাথে ত্বরণ ও সময়ের গুণফলের সমষ্টি।
দ্বিতীয় সূত্র: সরণ ও সময়ের সম্পর্ক
সরণ \(s\) হলো বেগের সময়ের সাপেক্ষে সমাকলন:
\[v = \frac{ds}{dt} = u + at\]
\[ds = (u + at)\,dt\]
সমাকলন করে:
\[\int_{0}^{s} ds = \int_{0}^{t} (u + at)\,dt\]
\[s = ut + \frac{1}{2}at^2\]
এই সূত্রটি দ্বারা সময় \(t\) এ বস্তুর অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় করা যায়।
তৃতীয় সূত্র: বেগ ও সরণের সম্পর্ক
সময় \(t\) বাদ দিয়ে বেগ ও সরণের সরাসরি সম্পর্ক নির্ণয়:
প্রথম সূত্র থেকে: \(t = \frac{v-u}{a}\)
দ্বিতীয় সূত্রে মান বসিয়ে:
\[s = u\left(\frac{v-u}{a}\right) + \frac{1}{2}a\left(\frac{v-u}{a}\right)^2\]
\[s = \frac{u(v-u)}{a} + \frac{(v-u)^2}{2a}\]
\[2as = 2u(v-u) + (v-u)^2\]
\[2as = (v-u)(2u + v - u)\]
\[2as = (v-u)(v+u) = v^2 - u^2\]
সুতরাং:
\[v^2 = u^2 + 2as\]
এই সূত্রটি ব্যবহার করে সময় না জেনে শুধু বেগ ও সরণ জেনে গতির অবস্থা নির্ণয় করা যায়।
চতুর্থ সূত্র: গড়বেগের সাহায্যে সরণ
ধ্রুবক ত্বরণে গড়বেগ \(\frac{u+v}{2}\) হওয়ায়:
\[s = \left(\frac{u+v}{2}\right)t\]
এই সূত্রটি প্রায়োগিক সমস্যায় দ্রুত সমাধান দেয়।
বিশেষ এক সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব (Distance in the nth Second)
সূত্রের উৎপত্তি
প্রায়োগিক ক্ষেত্রে জানা দরকার হয় যে গতির কোনো বিশেষ এক সেকেন্ডে (যেমন তৃতীয় সেকেন্ডে বা দশম সেকেন্ডে) বস্তুটি কত দূরত্ব অতিক্রম করে। এটি শুধু \(t\) সময়ে মোট দূরত্ব থেকে \(t-1\) সময়ে মোট দূরত্ব বিয়োগ করে পাওয়া যায়।
\(t\) তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(s_n\) হলো:
\[s_n = s_t - s_{t-1}\]
যেখানে \(s_t\) হলো \(t\) সেকেন্ডে মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব এবং \(s_{t-1}\) হলো \(t-1\) সেকেন্ডে মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব।
সূত্রের প্রমাণ
দ্বিতীয় সূত্র অনুযায়ী:
\(t\) সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব:
\[s_t = ut + \frac{1}{2}at^2\]
\(t-1\) সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব:
\[s_{t-1} = u(t-1) + \frac{1}{2}a(t-1)^2\]
\[= u(t-1) + \frac{1}{2}a(t^2 - 2t + 1)\]
তৃতীয় বা \(t\) তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব:
\[s_n = s_t - s_{t-1}\]
\[= \left[ut + \frac{1}{2}at^2\right] - \left[u(t-1) + \frac{1}{2}a(t^2 - 2t + 1)\right]\]
\[= ut - u(t-1) + \frac{1}{2}at^2 - \frac{1}{2}a(t^2 - 2t + 1)\]
\[= u + \frac{1}{2}a(2t - 1)\]
সুতরাং \(n\) তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্বের সূত্র:
\[s_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)\]
বা
\[s_n = u + a\left(n - \frac{1}{2}\right)\]
বিশেষ দ্রষ্টব্য
এই সূত্রটি থেকে দেখা যায় যে, সমত্বরণে চলমান বস্তুর ক্ষেত্রে প্রতি ক্রমাগত সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব একটি সমান্তর প্রগতি (Arithmetic Progression) গঠন করে যার সাধারণ অন্তর \(a\)।
প্রথম সেকেন্ডে: \(s_1 = u + \frac{a}{2}\)
দ্বিতীয় সেকেন্ডে: \(s_2 = u + \frac{3a}{2}\)
তৃতীয় সেকেন্ডে: \(s_3 = u + \frac{5a}{2}\)
পার্থক্য: \(s_2 - s_1 = a\), \(s_3 - s_2 = a\) ইত্যাদি।
উদাহরণ: একটি বস্তু সমত্বরণে চলতে চলতে প্রথম তিন সেকেন্ডে যথাক্রমে ৫ মিটার, ৯ মিটার ও ১৩ মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে। বস্তুর প্রাথমিক বেগ ও ত্বরণ নির্ণয় কর।
সমাধান:
দেওয়া আছে:
\(s_1 = 5\) মিটার, \(s_2 = 9\) মিটার, \(s_3 = 13\) মিটার
আমরা জানি, \(n\) তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(s_n = u + a(n - \frac{1}{2})\)
প্রথম সেকেন্ডে: \(5 = u + \frac{a}{2}\) ... (১)
দ্বিতীয় সেকেন্ডে: \(9 = u + \frac{3a}{2}\) ... (২)
(২) থেকে (১) বিয়োগ করে:
\(4 = a\)
সুতরাং ত্বরণ \(a = 4\) মি/সে²
(১) এ \(a\) এর মান বসিয়ে:
\(5 = u + \frac{4}{2} = u + 2\)
\(u = 3\) মি/সে
যাচাই: তৃতীয় সেকেন্ডে \(s_3 = 3 + 4(3 - 0.5) = 3 + 10 = 13\) মিটার (মিলে গেছে)
গড়বেগের সংজ্ঞা ও প্রকারভেদ (Average Velocity)
সাধারণ সংজ্ঞা
গড়বেগ (Average Velocity) হলো মোট সরণ ও মোট সময়ের অনুপাত। এটি একটি ভেক্টর রাশি যার দিক মোট সরণের দিকের সমান।
\[\vec{v}_{avg} = \frac{\text{মোট সরণ}}{\text{মোট সময়}} = \frac{\Delta \vec{s}}{\Delta t}\]
সমত্বরণে গড়বেগ
ধ্রুবক ত্বরণে চলমান বস্তুর ক্ষেত্রে গড়বেগ প্রাথমিক ও শেষ বেগের গাণিতিক গড়ের সমান:
\[v_{avg} = \frac{u + v}{2}\]
যেখানে \(u\) হলো প্রাথমিক বেগ এবং \(v\) হলো শেষ বেগ।
প্রমাণ: আমরা জানি \(v = u + at\) এবং \(s = ut + \frac{1}{2}at^2\)
সুতরাং \(v_{avg} = \frac{s}{t} = \frac{ut + \frac{1}{2}at^2}{t} = u + \frac{1}{2}at = u + \frac{1}{2}(v-u) = \frac{u+v}{2}\)
সমবেগে গড়বেগ
যখন ত্বরণ শূন্য (সমবেগ) হয়, তখন \(v = u\) এবং গড়বেগ সর্বদা \(u\) এর সমান থাকে।
চলমান গড়বেগ
কোনো নির্দিষ্ট সময়কালের জন্য গড়বেগ নির্ণয় করতে হলে ঐ সময়ের প্রারম্ভিক ও সাময়িক বেগের গড় নিতে হয়।
উদাহরণ: একটি গাড়ি ৪ মি/সে বেগ থেকে ত্বরণ করে ১০ সেকেন্ড পর ২৪ মি/সে বেগ অর্জন করে। এই ১০ সেকেন্ডে এর গড়বেগ কত?
সমাধান:
\(u = 4\) মি/সে, \(v = 24\) মি/সে
গড়বেগ \(= \frac{4 + 24}{2} = 14\) মি/সে
অথবা ত্বরণ \(a = \frac{24-4}{10} = 2\) মি/সে²
সরণ \(s = 4 \times 10 + \frac{1}{2} \times 2 \times 100 = 40 + 100 = 140\) মিটার
গড়বেগ \(= \frac{140}{10} = 14\) মি/সে (মিলে গেছে)
গতিপথের লেখচিত্র (Graphs of Motion)
গতির বিভিন্ন রাশির মধ্যে সম্পর্ক চিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করলে তা সহজে বোঝা যায় এবং বিভিন্ন ভৌত রাশি নির্ণয় করা সহজ হয়। তিন ধরনের মৌলিক লেখচিত্র ব্যবহার করা হয়: সরণ-সময় লেখচিত্র, বেগ-সময় লেখচিত্র এবং ত্বরণ-সময় লেখচিত্র।
সরণ-সময় লেখচিত্র (Displacement-Time Graph)
সমতলে গতির ক্ষেত্রে সরণ একটি ভেক্টর রাশি হওয়ায়, একমাত্রিক গতির ক্ষেত্রে সরণ-সময় লেখচিত্র অঙ্কন করা হয়।
- রেখার ঢাল: যেকোনো বিন্দুতে সরণ-সময় রেখার ঢাল ঐ বিন্দুতে বস্তুর তাৎক্ষণিক বেগ নির্দেশ করে।
- উত্থিত রেখা: ধনাত্মক ঢাল থাকলে ধনাত্মক বেগ, ঋণাত্মক ঢাল থাকলে বিপরীত দিকে বেগ নির্দেশ করে।
- অনুভূমিক রেখা: সরণ অপরিবর্তিত থাকলে বেগ শূন্য, অর্থাৎ বস্তু বিশ্রাম অবস্থায় আছে।
- বক্ররেখা: বক্ররেখার ক্ষেত্রে বিভিন্ন বিন্দুতে ভিন্ন ভিন্ন ঢাল পাওয়া যায়, যা পরিবর্তনশীল বেগ নির্দেশ করে।
সমত্বরণে চলমান বস্তুর সরণ-সময় লেখচিত্র একটি পরাবৃত্ত (parabola) হয় কারণ \(s = ut + \frac{1}{2}at^2\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
বেগ-সময় লেখচিত্র (Velocity-Time Graph)
এই লেখচিত্রটি গতি বিশ্লেষণে সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয় কারণ এতে একই সাথে ত্বরণ ও সরণ দুটোই নির্ণয় করা যায়।
- রেখার ঢাল: বেগ-সময় রেখার ঢাল ত্বরণ নির্দেশ করে। \(a = \frac{dv}{dt} = \tan\theta\)
- ক্ষেত্রফল: রেখাচিত্রের অক্ষের নিচে অবস্থিত ক্ষেত্রফল মোট সরণ নির্দেশ করে।
- ধনাত্মক ক্ষেত্রফল: ধনাত্মক দিকে সরণ নির্দেশ করে।
- ঋণাত্মক ক্ষেত্রফল: ঋণাত্মক দিকে সরণ বা পথ প্রদর্শন করে (যদি বেগ ঋণাত্মক হয়)।
সমত্বরণে চলমান বস্তুর বেগ-সময় লেখচিত্র একটি সরলরেখা হয় যার ঢাল ত্বরণ নির্দেশ করে।
ত্বরণ-সময় লেখচিত্র (Acceleration-Time Graph)
- অনুভূমিক রেখা: ধ্রুবক ত্বরণ নির্দেশ করে।
- অক্ষের উপর অবস্থিত রেখা: ত্বরণ শূন্য বা সমবেগ নির্দেশ করে।
- ক্ষেত্রফল: ত্বরণ-সময় রেখাচিত্রের অক্ষের নিচে ক্ষেত্রফল বেগের পরিবর্তন নির্দেশ করে।
\[\Delta v = \text{ত্বরণ-সময় রেখাচিত্রের ক্ষেত্রফল}\]
লেখচিত্রের সাহায্যে গতি সূত্র প্রমাণ
বেগ-সময় লেখচিত্র ব্যবহার করে তৃতীয় সূত্রটি প্রমাণ করা যায়:
ধরা যাক, প্রাথমিক বেগ \(u\), শেষ বেগ \(v\) এবং সময় \(t\)。 বেগ-সময় রেখাচিত্র একটি ট্রাপিজিয়াম গঠন করে যার সমান্তরাল বাহু \(u\) ও \(v\) এবং উচ্চতা \(t\)।
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল \(= \frac{1}{2}(u+v)t = s\) (সরণ)
আবার, ত্বরণ \(a = \frac{v-u}{t}\) বা \(t = \frac{v-u}{a}\)
সুতরাং \(s = \frac{1}{2}(u+v) \times \frac{v-u}{a} = \frac{v^2-u^2}{2a}\)
বা \(v^2 = u^2 + 2as\) (তৃতীয় সূত্র প্রমাণিত)
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- গতির তিন সূত্র:
- \(v = u + at\) (বেগ-সময় সম্পর্ক)
- \(s = ut + \frac{1}{2}at^2\) (সরণ-সময় সম্পর্ক)
- \(v^2 = u^2 + 2as\) (বেগ-সরণ সম্পর্ক)
- বিশেষ এক সেকেন্ডে দূরত্ব: \(s_n = u + \frac{a}{2}(2n-1)\)
- গড়বেগ: সাধারণত \(\frac{\text{মোট সরণ}}{\text{মোট সময়}}\); সমত্বরণে \(\frac{u+v}{2}\)
- সরণ-সময় লেখচিত্র: ঢাল = বেগ, বক্ররেখা = পরিবর্তনশীল বেগ
- বেগ-সময় লেখচিত্র: ঢাল = ত্বরণ, ক্ষেত্রফল = সরণ
- ত্বরণ-সময় লেখচিত্র: ক্ষেত্রফল = বেগের পরিবর্তন
সমত্বরণে চলমান বস্তুর এই গতি সূত্রগুলো পদার্থবিজ্ঞানের ভিত্তি গঠন করে এবং দৈনন্দিন জীবনের বিভিন্ন গতি সমস্যার সমাধানে ব্যবহৃত হয়। বিশেষ এক সেকেন্ডে দূরত্বের সূত্রটি প্রকৌশল ও পরিবহন বিজ্ঞানে বিশেষভাবে কাজে লাগে। লেখচিত্রের মাধ্যমে গতির প্রকৃতি দৃশ্যমান করা গেলে জটিল সমস্যাও সহজে সমাধান করা যায়। মনে রাখতে হবে এই সূত্রগুলো শুধুমাত্র ধ্রুবক ত্বরণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য এবং একমাত্রিক গতির জন্য সরাসরি ব্যবহার করা হয়, যদিও সমতলীয় গতিকে দুটি একমাত্রিক গতিতে বিশ্লেষণ করে এগুলো প্রয়োগ করা যায়।