বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ

  1. দ্বিঘাত সমীকরণ, \(ax^2 + bx + c = 0\) (যেখানে \(a \neq 0\)) এর ক্ষেত্রে

    1. মূলদ্বয় \(\alpha, \beta\) হলে, \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\) এবং \(\alpha\beta = \frac{c}{a}\)
    2. উপরি-উক্ত সমীকরণের সমাধান, \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
    3. দ্বিঘাত সমীকরণটির নিশ্চায়ক = \(b^2 - 4ac\) যেখানে,
      • \(b^2 - 4ac = 0\) হলে, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান;
      • \(b^2 - 4ac > 0\) হলে, মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান;
      • \(b^2 - 4ac < 0\) হলে, মূলদ্বয় জটিল ও অসমান;
      • \(b^2 - 4ac > 0\) এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যা হলে, মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান;
      • \(b^2 - 4ac > 0\) এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যা না হয়, তবে মূলদ্বয় অমূলদ ও অসমান।

  2. ত্রিঘাত সমীকরণ, \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) (যেখানে \(a \neq 0\)) এর ক্ষেত্রে

    1. মূলত্ৰয় \(\alpha, \beta, \gamma\) হলে, \( \Sigma\alpha = \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}, \quad \Sigma\alpha\beta = \alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma = \frac{c}{a} \quad \text{এবং} \quad \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} \)
    2. মূলত্ৰয় সমান্তর প্রগমনে থাকলে তাদের সাধারণ আকার, \(\alpha - \beta, \alpha, \alpha + \beta\)
    3. মূলত্ৰয় গুণোত্তর প্রগমনে থাকলে তাদের সাধারণ আকার, \(\frac{\alpha}{r}, \alpha, \alpha r\)
    4. মূলত্ৰয় ভাজিত (Harmonic) প্রগমনে থাকলে তাদের সাধারণ আকার, \(\frac{1}{\alpha - \beta}, \frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\alpha + \beta}\)

  3. মূলদ্বয়/মূলত্ৰয় থেকে সমীকরণ গঠন

    1. \(\alpha, \beta\) মূলদ্বয় বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ: \( x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0 \)
    2. ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্ৰয় \(\alpha, \beta\) ও \(\gamma\) হলে, সমীকরণ: \( x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma = 0 \)