৭.১ বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন (Inverse Trigonometric Functions)
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন হলো ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের বিপরীত ক্রিয়া প্রকাশকারী গাণিতিক ফাংশন। কোণের মান থেকে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়ের বিপরীত প্রক্রিয়ায়, অর্থাৎ ত্রিকোণমিতিক অনুপাত থেকে কোণের মান নির্ণয়ের জন্য এই ফাংশনগুলো ব্যবহৃত হয়। তবে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলো একৈকিক (one-to-one) না হওয়ায়, বিপরীত ফাংশন সংজ্ঞায়িত করতে হলে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মুখ্য সীমা (Principal Range) বা প্রধান পরিসর নির্ধারণ করতে হয়। এই অধ্যায়ে আমরা বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলোর মুখ্যমান, তাদের অধিগম্য ও বিস্তার সেট এবং পারস্পরিক সম্পর্কাবলী বিস্তারিতভাবে আলোচনা করব।
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সংজ্ঞা ও মুখ্যমান
মৌলিক ধারণা
যদি \(y = \sin x\) হয়, তবে \(x\) এর বিপরীত ফাংশন সংজ্ঞায়িত হয় \(x = \sin^{-1} y\) বা \(x = \arcsin y\) হিসেবে। তবে সমস্যা হলো যে সাইন ফাংশন পর্যায়ক্রমিক (periodic) এবং অনেক বিন্দুতে একই মান প্রদান করে। যেমন, \(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\) এবং \(\sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}\), এমনকি \(\sin \left(2n\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\) যেকোনো পূর্ণসংখ্যা \(n\) এর জন্য। সুতরাং \(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\) এর জন্য অসংখ্য মান সম্ভব।
এই অসংখ্য মানের মধ্য থেকে একটি নির্দিষ্ট মান নির্বাচন করতে হলে মুখ্য সীমা (Principal Range) নির্ধারণ করা হয়। মুখ্য সীমার মধ্যে বিপরীত ফাংশনের মানকে মুখ্যমান (Principal Value) বলে।
বিপরীত সাইন ফাংশন (Inverse Sine Function)
\(y = \sin^{-1} x\) সংজ্ঞায়িত হয় যখন \(x = \sin y\) এবং \(y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)
অধিগম্য সেট (Domain): \([-1, 1]\)
বিস্তার সেট (Range) বা মুখ্য সীমা: \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)
এই সীমা নির্বাচনের কারণ হলো এই অন্তরালে সাইন ফাংশন একৈকিক এবং বিপরীতযোগ্য। \(-\frac{\pi}{2}\) থেকে \(\frac{\pi}{2}\) পর্যন্ত সাইন ফাংশন মোটোনোটনিক বৃদ্ধিশীল।
বিপরীত কোসাইন ফাংশন (Inverse Cosine Function)
\(y = \cos^{-1} x\) সংজ্ঞায়িত হয় যখন \(x = \cos y\) এবং \(y \in [0, \pi]\)
অধিগম্য সেট: \([-1, 1]\)
বিস্তার সেট বা মুখ্য সীমা: \([0, \pi]\)
কোসাইন ফাংশন শূন্য থেকে \(\pi\) পর্যন্ত মোটোনোটনিক হ্রাসশীল, তাই এই অন্তরালকে মুখ্য সীমা হিসেবে গ্রহণ করা হয়।
বিপরীত ট্যানজেন্ট ফাংশন (Inverse Tangent Function)
\(y = \tan^{-1} x\) সংজ্ঞায়িত হয় যখন \(x = \tan y\) এবং \(y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)
অধিগম্য সেট: \((-\infty, \infty)\) বা সকল বাস্তব সংখ্যা \(\mathbb{R}\)
বিস্তার সেট বা মুখ্য সীমা: \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)
ট্যানজেন্ট ফাংশন \(\frac{\pi}{2}\) এ অসংজ্ঞায়িত হওয়ায় সীমার শেষ বিন্দু খোলা রাখা হয়।
অন্যান্য বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন
| ফাংশন | সংজ্ঞা | অধিগম্য সেট | মুখ্য সীমা |
|---|---|---|---|
| \(\cosec^{-1} x\) | \(y = \cosec^{-1} x \Leftrightarrow x = \cosec y\) | \((-\infty, -1] \cup [1, \infty)\) | \(\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right]\) |
| \(\sec^{-1} x\) | \(y = \sec^{-1} x \Leftrightarrow x = \sec y\) | \((-\infty, -1] \cup [1, \infty)\) | \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]\) |
| \(\cot^{-1} x\) | \(y = \cot^{-1} x \Leftrightarrow x = \cot y\) | \((-\infty, \infty)\) | \((0, \pi)\) |
লক্ষণীয় যে \(\cosec^{-1} x\) এর মুখ্য সীমায় শূন্য বাদ দেওয়া হয়েছে কারণ \(\cosec 0\) অসংজ্ঞায়িত। একইভাবে \(\sec^{-1} x\) এর ক্ষেত্রে \(\frac{\pi}{2}\) বাদ দেওয়া হয়েছে।
মুখ্য সীমায় বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মধ্যে সম্পর্ক
পরিপূরক সম্পর্ক (Complementary Relationships)
বিপরীত সাইন ও বিপরীত কোসাইন ফাংশনের মধ্যে পরিপূরক সম্পর্ক বিদ্যমান কারণ \(\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta\)।
\[\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}, \quad x \in [-1, 1]\]
\[\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}, \quad x \in \mathbb{R}\]
\[\sec^{-1} x + \cosec^{-1} x = \frac{\pi}{2}, \quad |x| \geq 1\]
ঋণাত্মক মানের সাথে সম্পর্ক
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলোর বিষম ও জোড় ধর্মের ভিত্তিতে ঋণাত্মক মানের সাথে সম্পর্ক নির্ণয় করা যায়।
\[\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1} x, \quad x \in [-1, 1]\]
(বিষম ফাংশনের ধর্ম)
\[\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x, \quad x \in [-1, 1]\]
(জোড় ফাংশনের ধর্মের পরিবর্তন)
\[\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1} x, \quad x \in \mathbb{R}\]
\[\cosec^{-1}(-x) = -\cosec^{-1} x, \quad |x| \geq 1\]
\[\sec^{-1}(-x) = \pi - \sec^{-1} x, \quad |x| \geq 1\]
\[\cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1} x, \quad x \in \mathbb{R}\]
বিপরীত ফাংশনের পারস্পরিক রূপান্তর
একটি বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনকে অপর আকারে প্রকাশের সূত্রাবলী:
\[\sin^{-1} x = \cosec^{-1}\left(\frac{1}{x}\right), \quad x \in [-1, 1], x \neq 0\]
\[\cos^{-1} x = \sec^{-1}\left(\frac{1}{x}\right), \quad x \in [-1, 1], x \neq 0\]
\[\tan^{-1} x = \cot^{-1}\left(\frac{1}{x}\right), \quad x > 0\]
\[\tan^{-1} x = -\pi + \cot^{-1}\left(\frac{1}{x}\right), \quad x < 0\]
বিশেষ দ্রষ্টব্য: \(\tan^{-1} x\) এবং \(\cot^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\) এর সম্পর্ক \(x\) এর চিহ্নের উপর নির্ভরশীল কারণ \(\cot^{-1}\) এর মুখ্য সীমা \((0, \pi)\) কিন্তু \(\tan^{-1}\) এর মুখ্য সীমা \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)।
যোগ ও বিয়োগ সংক্রান্ত সূত্রাবলী
যোগের সূত্র
দুটি বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের যোগফল নির্ণয়ের সূত্রাবলী:
\[\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \sin^{-1}\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right)\]
শর্ত: \(x^2 + y^2 \leq 1\) অথবা \(xy < 0\) এবং \(x^2 + y^2 > 1\)
\[\cos^{-1} x + \cos^{-1} y = \cos^{-1}\left(xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right)\]
শর্ত: \(x + y \geq 0\)
\[\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)\]
শর্ত: \(xy < 1\)
বিয়োগের সূত্র
\[\sin^{-1} x - \sin^{-1} y = \sin^{-1}\left(x\sqrt{1-y^2} - y\sqrt{1-x^2}\right)\]
\[\cos^{-1} x - \cos^{-1} y = \cos^{-1}\left(xy + \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right)\]
শর্ত: \(x \leq y\)
\[\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)\]
শর্ত: \(xy > -1\)
বিশেষ ক্ষেত্রে যোগের সূত্র
যখন \(xy > 1\), তখন \(\tan^{-1} x + \tan^{-1} y\) এর মান নির্ণয়ে \(\pi\) যোগ বা বিয়োগ করতে হয়:
\[\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right), \quad xy > 1, x > 0, y > 0\]
\[\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = -\pi + \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right), \quad xy > 1, x < 0, y < 0\]
দ্বিগুণ কোণের সূত্র
\[2\sin^{-1} x = \sin^{-1}\left(2x\sqrt{1-x^2}\right)\]
বিকল্পভাবে: \(2\sin^{-1} x = \cos^{-1}(1-2x^2)\)
\[2\cos^{-1} x = \cos^{-1}(2x^2-1)\]
\[2\tan^{-1} x = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right), \quad |x| < 1\]
\[2\tan^{-1} x = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right), \quad |x| \leq 1\]
\[2\tan^{-1} x = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right), \quad x \geq 0\]
ত্রিগুণ কোণের সূত্র
\[3\sin^{-1} x = \sin^{-1}(3x - 4x^3)\]
\[3\cos^{-1} x = \cos^{-1}(4x^3 - 3x)\]
\[3\tan^{-1} x = \tan^{-1}\left(\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\right)\]
বিশেষ রূপান্তর ও সমীকরণ সমাধান
বিপরীত ফাংশন থেকে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়
যদি \(\theta = \sin^{-1} x\) হয়, তবে \(\sin \theta = x\) এবং একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করে \(\cos \theta = \sqrt{1-x^2}\), \(\tan \theta = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\) নির্ণয় করা যায়।
মান নির্ণয় কর: \(\tan(\sin^{-1} \frac{3}{5})\)
সমাধান:
ধরি \(\theta = \sin^{-1} \frac{3}{5}\), সুতরাং \(\sin \theta = \frac{3}{5}\)
সমকোণী ত্রিভুজে, বিপরীত বাহু 3, অতিভুজ 5, তাই সমীপবাহু \(\sqrt{5^2-3^2} = 4\)
সুতরাং \(\tan \theta = \frac{3}{4}\)
বিপরীত ফাংশনের তুলনা
দুটি বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সমানতা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে মুখ্য সীমার শর্ত প্রযোজ্য হয়।
\[\sin^{-1} x = \sin^{-1} y \Rightarrow x = y, \quad x,y \in [-1,1]\]
\[\cos^{-1} x = \cos^{-1} y \Rightarrow x = y, \quad x,y \in [-1,1]\]
\[\tan^{-1} x = \tan^{-1} y \Rightarrow x = y, \quad x,y \in \mathbb{R}\]
সমীকরণের সাধারণ সমাধান
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের ক্ষেত্রে সাধারণ সমাধান ও মুখ্যমানের পার্থক্য বোঝা জরুরি।
সমাধান কর: \(\sin^{-1} x = \frac{\pi}{6}\)
সমাধান: \(x = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\)
তবে যদি সমীকরণ হয় \(\sin \theta = \frac{1}{2}\), তবে সাধারণ সমাধান:
\(\theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}, \quad n \in \mathbb{Z}\)
লেখচিত্র ও বৈশিষ্ট্যসমূহ
লেখচিত্রের প্রকৃতি
- \(y = \sin^{-1} x\): মূল বিন্দুতে কেন্দ্রভুক্ত বিষম ফাংশন, \((-1, -\frac{\pi}{2})\) থেকে \((1, \frac{\pi}{2})\) পর্যন্ত ধনাত্মক ঢালে বর্ধনশীল।
- \(y = \cos^{-1} x\): \((-1, \pi)\) থেকে \((1, 0)\) পর্যন্ত হ্রাসশীল, মূল বিন্দুতে \((0, \frac{\pi}{2})\) অতিক্রম করে।
- \(y = \tan^{-1} x\): সম্পূর্ণ বাস্তব অক্ষ জুড়ে বিষম ফাংশন, দুটি ক্ষৈতিজ অসীমতট \(y = \pm \frac{\pi}{2}\) বিদ্যমান।
সীমান্তিক মান
\[\lim_{x \to 1^-} \sin^{-1} x = \frac{\pi}{2}, \quad \lim_{x \to -1^+} \sin^{-1} x = -\frac{\pi}{2}\]
\[\lim_{x \to \infty} \tan^{-1} x = \frac{\pi}{2}, \quad \lim_{x \to -\infty} \tan^{-1} x = -\frac{\pi}{2}\]
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- বিপরীত সাইন: \(\sin^{-1} x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\), \(x \in [-1, 1]\)
- বিপরীত কোসাইন: \(\cos^{-1} x \in [0, \pi]\), \(x \in [-1, 1]\)
- বিপরীট ট্যানজেন্ট: \(\tan^{-1} x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\), \(x \in \mathbb{R}\)
- পরিপূরক সম্পর্ক: \(\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}\), \(\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}\)
- ঋণাত্মক মান: \(\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1} x\), \(\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x\)
- যোগের সূত্র: \(\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)\) যখন \(xy < 1\)
- দ্বিগুণ কোণ: \(2\tan^{-1} x = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\)
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মুখ্যমান ও মুখ্য সীমা নির্ধারণ ক্যালকুলাস, বিশেষত অন্তরক ও সমাকলনে বিপরীত ফাংশনের ব্যবহারের জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। ক্যালকুলাসে বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অন্তরক ও সমাকলন সূত্রাবলী প্রয়োগের সময় এই মুখ্য সীমার শর্তাবলী প্রযোজ্য হয় এবং সঠিক চিহ্ন নির্ধারণে সহায়তা করে।