৫.২ মূল চিহ্ন সংবলিত সমীকরণ (Radical Equations)

মূল চিহ্ন সংবলিত সমীকরণ (Equations with Root Signs) বলতে সেইসব বীজগাণিতিক সমীকরণকে বোঝায় যেখানে অজ্ঞাত চলক \( x \) বর্গমূল, ঘনমূল বা উচ্চতর মূল চিহ্নের অন্তর্ভুক্ত থাকে। এই অধ্যায়ে আমরা এ ধরনের সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি, বর্গ করণের নিয়ম এবং অনুচিত মূল (Extraneous Roots) চিহ্নিত করার পদ্ধতি শিখব।

সংজ্ঞা ও প্রকারভেদ

মূল চিহ্ন সংবলিত সমীকরণ:

যে সমীকরণে অজ্ঞাত চলক \( x \) বর্গমূল চিহ্ন \( \sqrt{\quad} \) বা ঘনমূল চিহ্ন \( \sqrt[3]{\quad} \) এর ভেতরে থাকে, তাকে মূল চিহ্ন সংবলিত সমীকরণ বা র‌্যাডিক্যাল সমীকরণ (Radical Equation) বলে।

প্রকারভেদ

  • সরল বর্গমূল সমীকরণ: \( \sqrt{ax+b} = c \)
  • যোগবিয়োগজাত বর্গমূল সমীকরণ: \( \sqrt{ax+b} \pm \sqrt{cx+d} = e \)
  • দ্বিপক্ষীয় বর্গমূল সমীকরণ: \( \sqrt{ax+b} = \sqrt{cx+d} \)
  • মিশ্র মূল সমীকরণ: \( x = \sqrt{a-x} \) অথবা \( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = a \)
  • ঘনমূল সমীকরণ: \( \sqrt[3]{ax+b} = c \) বা \( \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{a-x} = b \)
⚠️ গুরুত্বপূর্ণ: বর্গমূল চিহ্ন \( \sqrt{\quad} \) দ্বারা সাধারণত ধনাত্মক বর্গমূল (Principal/Positive Square Root) বোঝায়। অর্থাৎ \( \sqrt{9} = 3 \), \( \pm 3 \) নয়।

সমাধানের সাধারণ পদ্ধতি

মূল চিহ্ন সংবলিত সমীকরণ সমাধানের মূল কৌশল হলো বর্গ করণ (Squaring) এর মাধ্যমে মূল চিহ্ন দূর করা। তবে এতে অনুচিত মূল (Extraneous Roots) সৃষ্টি হতে পারে, তাই সমাধান পরীক্ষা করা আবশ্যক।

সমাধানের ধাপসমূহ:

  1. মূল চিহ্ন বিচ্ছিন্নকরণ: সমীকরণের এক পাশে মূল চিহ্নযুক্ত পদটি রাখুন এবং অন্য পাশে অন্যান্য পদ নিয়ে যান।
  2. বর্গ করণ: উভয় পক্ষকে বর্গ করুন যাতে বর্গমূল চিহ্ন দূর হয়।
  3. সরলীকরণ: প্রাপ্ত সমীকরণটি সরলীকরণ করে দ্বিঘাত বা রৈখিক রূপে নিয়ে আসুন।
  4. পুনরাবৃত্তি: যদি এখনও মূল চিহ্ন থাকে, পুনরায় ধাপ ১-৩ অনুসরণ করুন।
  5. মূল নির্ণয়: সরল সমীকরণটি সমাধান করে \( x \) এর মান নির্ণয় করুন।
  6. পরীক্ষা (Verification): অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ: প্রাপ্ত প্রতিটি মূল মূল সমীকরণে বসিয়ে দেখুন। যে মান সমীকরণের দুই পক্ষকে সমান করে তা গ্রহণযোগ্য, অন্যটি অপসারণ করুন।
কেন অনুচিত মূল সৃষ্টি হয়?
যখন আমরা \( A = B \) থেকে \( A^2 = B^2 \) করি, তখন \( (-A) = B \) অর্থাৎ \( A = -B \) ক্ষেত্রটিও অন্তর্ভুক্ত হয়ে যায়। কিন্তু মূল সমীকরণে \( \sqrt{\quad} \geq 0 \) হওয়ায় \( A \) ঋণাত্মক হতে পারে না, কিন্তু \( -B \) ঋণাত্মক হতে পারে। তাই পরীক্ষা আবশ্যক।

ধরন ১: সরল বর্গমূল সমীকরণ

সাধারণ রূপ: \( \sqrt{ax+b} = c \)

শর্ত: \( c \geq 0 \) হতে হবে (কারণ বাম পক্ষ ধনাত্মক) এবং \( ax+b \geq 0 \) হতে হবে।

উদাহরণ ১:

সমাধান করুন: \( \sqrt{2x+3} = 5 \)

সমাধান:

উভয় পক্ষ বর্গ করে:

\( 2x + 3 = 25 \)

বা, \( 2x = 22 \)

বা, \( x = 11 \)

পরীক্ষা: \( \sqrt{2(11)+3} = \sqrt{25} = 5 \) ✓

সুতরাং \( x = 11 \) হলো একমাত্র সমাধান।

উদাহরণ ২ (ঋণাত্মক মান):

সমাধান করুন: \( \sqrt{3x-2} = -4 \)

সমাধান:

এখানে ডান পক্ষ ঋণাত্মক (-4), কিন্তু বাম পক্ষ \( \sqrt{3x-2} \geq 0 \) (ধনাত্মক বা শূন্য)।

সুতরাং কোনো বাস্তব সমাধান নেই। অর্থাৎ সমাধানের সেট \( \emptyset \) (ফাঁকা সেট)।

বিকল্প: যদি বর্গ করেও দেখি, \( 3x-2 = 16 \) বা \( x = 6 \), কিন্তু পরীক্ষায় \( \sqrt{16} = 4 \neq -4 \)। সুতরাং \( x=6 \) অনুচিত মূল।

ধরন ২: যোগবিয়োগজাত বর্গমূল সমীকরণ

সাধারণ রূপ: \( \sqrt{ax+b} + \sqrt{cx+d} = e \)

উদাহরণ:

সমাধান করুন: \( \sqrt{x+3} + \sqrt{x-2} = 5 \)

সমাধান:

একটি মূল চিহ্ন বিচ্ছিন্ন করি:

\( \sqrt{x+3} = 5 - \sqrt{x-2} \)

উভয় পক্ষ বর্গ করি:

\( x + 3 = 25 - 10\sqrt{x-2} + (x-2) \)

বা, \( x + 3 = 23 + x - 10\sqrt{x-2} \)

বা, \( 3 - 23 = -10\sqrt{x-2} \)

বা, \( -20 = -10\sqrt{x-2} \)

বা, \( 2 = \sqrt{x-2} \)

আবার বর্গ করি:

\( 4 = x - 2 \)

বা, \( x = 6 \)

পরীক্ষা: \( \sqrt{6+3} + \sqrt{6-2} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5 \) ✓

সুতরাং \( x = 6 \) সঠিক সমাধান।

সাবধানতা: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), সুতরাং \( (\sqrt{A} + \sqrt{B})^2 = A + B + 2\sqrt{AB} \)। মধ্যপদটি ভুলবেন না।

ধরন ৩: দ্বিপক্ষীয় বর্গমূল সমীকরণ

সাধারণ রূপ: \( \sqrt{ax+b} = \sqrt{cx+d} \)

উদাহরণ:

সমাধান করুন: \( \sqrt{3x+1} = \sqrt{2x+4} \)

সমাধান:

উভয় পক্ষ বর্গ করি:

\( 3x + 1 = 2x + 4 \)

বা, \( 3x - 2x = 4 - 1 \)

বা, \( x = 3 \)

পরীক্ষা: \( \sqrt{3(3)+1} = \sqrt{10} \) এবং \( \sqrt{2(3)+4} = \sqrt{10} \) ✓

উদাহরণ ২ (অনুচিত মূল):

সমাধান করুন: \( \sqrt{x-5} = \sqrt{2-x} \)

সমাধান:

বর্গ করলে: \( x - 5 = 2 - x \)

বা, \( 2x = 7 \) বা \( x = 3.5 \)

পরীক্ষা:

বাম পক্ষ: \( \sqrt{3.5-5} = \sqrt{-1.5} \) → বাস্তব সংখ্যা নয়

ডান পক্ষ: \( \sqrt{2-3.5} = \sqrt{-1.5} \) → বাস্তব সংখ্যা নয়

সুতরাং কোনো বাস্তব সমাধান নেই। মূল চিহ্নের নিচে ঋণাত্মক মান আসায় সমাধান গ্রহণযোগ্য নয়।

ধরন ৪: মিশ্র ও বিশেষ ধরনের সমীকরণ

ক) \( x = \sqrt{a-x} \) ধরনের সমীকরণ

সমাধান করুন: \( x = \sqrt{6-x} \)

সমাধান:

শর্ত: \( x \geq 0 \) (কারণ ডান পক্ষ ধনাত্মক)

বর্গ করি: \( x^2 = 6 - x \)

বা, \( x^2 + x - 6 = 0 \)

বা, \( (x+3)(x-2) = 0 \)

সুতরাং \( x = -3 \) অথবা \( x = 2 \)

পরীক্ষা:

  • \( x = -3 \): বাম পক্ষ \( -3 \), ডান পক্ষ \( \sqrt{6-(-3)} = \sqrt{9} = 3 \)。 \( -3 \neq 3 \), সুতরাং অনুচিত।
  • \( x = 2 \): বাম পক্ষ \( 2 \), ডান পক্ষ \( \sqrt{6-2} = \sqrt{4} = 2 \) ✓

সুতরাং একমাত্র সমাধান \( x = 2 \)।

খ) \( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = a \) ধরনের সমীকরণ

সমাধান করুন: \( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{10}{3} \)

সমাধান:

ধরি \( y = \sqrt{x} \), তাহলে \( y + \frac{1}{y} = \frac{10}{3} \)

বা, \( \frac{y^2+1}{y} = \frac{10}{3} \)

বা, \( 3y^2 + 3 = 10y \)

বা, \( 3y^2 - 10y + 3 = 0 \)

বা, \( (3y-1)(y-3) = 0 \)

সুতরাং \( y = 3 \) অথবা \( y = \frac{1}{3} \)

যেহেতু \( y = \sqrt{x} \), সুতরাং:

  • \( \sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9 \)
  • \( \sqrt{x} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{9} \)

উভয় মানই পরীক্ষায় সঠিক পাওয়া যায়।

ঘনমূল সংবলিত সমীকরণ

ঘনমূল \( \sqrt[3]{\quad} \) এর ক্ষেত্রে বর্গ করণের পরিবর্তে ঘন করণ (Cubing) করতে হয়। এখানে চিহ্নের সমস্যা নেই কারণ ঘনমূল ঋণাত্মক সংখ্যারও বাস্তব হয়।

সাধারণ রূপ: \( \sqrt[3]{ax+b} = c \)

সমাধান: \( ax + b = c^3 \)

উদাহরণ ১:

সমাধান করুন: \( \sqrt[3]{2x-1} = 3 \)

উভয় পক্ষ ঘন করি:

\( 2x - 1 = 27 \)

বা, \( 2x = 28 \) বা \( x = 14 \)

উদাহরণ ২ (যোগফল):

সমাধান করুন: \( \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{2-x} = 2 \)

সমাধান:

ধরি \( a = \sqrt[3]{x} \) এবং \( b = \sqrt[3]{2-x} \)

তাহলে \( a + b = 2 \)

এবং \( a^3 + b^3 = x + (2-x) = 2 \)

আমরা জানি \( a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) \)

বা, \( 2 = (2)^3 - 3ab(2) \)

বা, \( 2 = 8 - 6ab \)

বা, \( 6ab = 6 \) বা \( ab = 1 \)

সুতরাং \( \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{2-x} = 1 \)

বা, \( \sqrt[3]{x(2-x)} = 1 \)

বা, \( x(2-x) = 1 \)

বা, \( 2x - x^2 = 1 \)

বা, \( x^2 - 2x + 1 = 0 \)

বা, \( (x-1)^2 = 0 \) বা \( x = 1 \)

পরীক্ষা: \( \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{2-1} = 1 + 1 = 2 \) ✓

অনুচিত মূল চিহ্নিতকরণ

কোন মূল অনুচিত তা চিহ্নিত করার জন্য নিচের শর্তগুলো পরীক্ষা করুন:

  • মূল চিহ্নের নিচে ঋণাত্মক: যদি কোনো মান বসালে বর্গমূল চিহ্নের নিচে ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, তবে সেটি অনুচিত (যদি না কাল্পনিক সংখ্যায় সমাধান না করতে বলা হয়)।
  • বাম ও ডান পক্ষের চিহ্ন: যদি বাম পক্ষ ধনাত্মক (বর্গমূল) হয় এবং ডান পক্ষ ঋণাত্মক হয়, তবে সেই মূল অবৈধ।
  • সমীকরণে অসামঞ্জস্য: মূল মানটি মূল সমীকরণের দুই পক্ষকে সমান না করলে অনুচিত।

উদাহরণ:

সমাধান করুন: \( \sqrt{2x-3} = x - 2 \)

সমাধান:

শর্ত: \( x - 2 \geq 0 \) অর্থাৎ \( x \geq 2 \) এবং \( 2x - 3 \geq 0 \) অর্থাৎ \( x \geq 1.5 \)

সুতরাং সামগ্রিক শর্ত \( x \geq 2 \)

বর্গ করি: \( 2x - 3 = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 \)

বা, \( x^2 - 6x + 7 = 0 \)

বা, \( x = \frac{6 \pm \sqrt{36-28}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2} \)

সুতরাং \( x \approx 3 + 1.414 = 4.414 \) অথবা \( x \approx 3 - 1.414 = 1.586 \)

পরীক্ষা:

  • \( x = 3 + \sqrt{2} \approx 4.414 \): \( \sqrt{2(4.414)-3} = \sqrt{5.828} \approx 2.414 \) এবং \( 4.414 - 2 = 2.414 \) ✓ (গ্রহণযোগ্য)
  • \( x = 3 - \sqrt{2} \approx 1.586 \): এটি \( x \geq 2 \) শর্ত পূরণ করে না। পরীক্ষা করলেও \( \sqrt{0.172} \approx 0.414 \) কিন্তু \( 1.586 - 2 = -0.414 \)। সমান নয়। অনুচিত।

সংক্ষিপ্ত সারাংশ

  • মূল নিয়ম: মূল চিহ্ন দূর করতে বর্গ করুন (বর্গমূলের জন্য) বা ঘন করুন (ঘনমূলের জন্য)।
  • অনুচিত মূল: বর্গ করণের ফলে অনুচিত মূল সৃষ্টি হতে পারে, তাই অবশ্যই পরীক্ষা করতে হবে।
  • শর্ত: \( \sqrt{A} = B \) হলে \( B \geq 0 \) এবং \( A \geq 0 \) হতে হবে।
  • যোগবিয়োগজাত ক্ষেত্রে: একটি মূল চিহ্ন বিচ্ছিন্ন করে বর্গ করুন, তারপর আবার বিচ্ছিন্ন করে বর্গ করুন।
  • ঘনমূল: ঘনমূলে চিহ্নের সমস্যা নেই (ঋণাত্মক সংখ্যারও ঘনমূল বাস্তব), কিন্তু পরীক্ষা করা ভালো অভ্যাস।
Link-previous SVG Icon পূর্ববর্তী পাঠ পরবর্তী পাঠ Link-next SVG Icon
অনুশীলনী