১.২ ফাংশন (Function)
ফাংশন (Function) হলো দুটি সেটের মধ্যকার একটি বিশেষ সম্পর্ক যেখানে প্রথম সেটের প্রতিটি উপাদানের সাথে দ্বিতীয় সেটের একটি নির্দিষ্ট ও অদ্বিতীয় উপাদান জোড়া বাঁধা থাকে। ফাংশনকে \( f: A \to B \) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
ফাংশনের সংজ্ঞা ও প্রকাশ
যদি \( A \) ও \( B \) দুটি অশূন্য সেট হয় এবং \( A \) এর প্রতিটি উপাদানকে \( B \) এর একটি নির্দিষ্ট উপাদানের সাথে জোড়া বাঁধা যায়, তবে এই সম্পর্ককে \( A \) হতে \( B \) তে একটি ফাংশন বলা হয়।
গাণিতিক সংজ্ঞা: একটি সম্পর্ক \( f \subseteq A \times B \) কে ফাংশন বলা হয় যদি:
- \( \forall x \in A \), \( \exists y \in B \) যেন \( (x, y) \in f \) হয় (সংজ্ঞায়িততা)
- যদি \( (x, y_1) \in f \) এবং \( (x, y_2) \in f \) হয়, তবে \( y_1 = y_2 \) হবে (একক মান)
ফাংশনের উপাদানসমূহ
- ডোমেইন (Domain): ফাংশনের স্বাধীন চলকের সেট, অর্থাৎ \( A \)। একে \( D_f \) দ্বারা সূচিত করা হয়।
- কোডোমেইন (Codomain): নির্ভরশীল চলকের সম্ভাব্য মানের সেট, অর্থাৎ \( B \)।
- রেঞ্জ (Range): কোডোমেইনের সেই উপসেট যার সব উপাদানই ডোমেইনের কোনো না কোনো উপাদানের ছবি। একে \( R_f \) বা \( f(A) \) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। সুতরাং, \( R_f \subseteq B \)।
উদাহরণ:
ধরি, \( A = \{1, 2, 3\} \) এবং \( B = \{4, 5, 6, 7\} \)
এবং \( f = \{(1, 4), (2, 5), (3, 6)\} \)
তাহলে:
- ডোমেইন: \( D_f = \{1, 2, 3\} \)
- কোডোমেইন: \( B = \{4, 5, 6, 7\} \)
- রেঞ্জ: \( R_f = \{4, 5, 6\} \)
ফাংশনের প্রকারভেদ
১. এক-এক ফাংশন (One-One / Injective Function)
একটি ফাংশন \( f: A \to B \) এক-এক হবে যদি \( A \) এর ভিন্ন ভিন্ন উপাদানের ছবি \( B \) তে ভিন্ন ভিন্ন হয়।
সংজ্ঞা: \( f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \) অথবা \( x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) \)
উদাহরণ: \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( f(x) = 2x + 3 \) একটি এক-এক ফাংশন।
অ-উদাহরণ: \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( f(x) = x^2 \) এক-এক নয়, কারণ \( f(2) = f(-2) = 4 \)।
২. সার্বিক ফাংশন (Onto / Surjective Function)
একটি ফাংশন \( f: A \to B \) সার্বিক হবে যদি \( B \) এর প্রতিটি উপাদানই \( A \) এর কোনো উপাদানের ছবি হয়। অর্থাৎ রেঞ্জ = কোডোমেইন।
সংজ্ঞা: \( \forall y \in B \), \( \exists x \in A \) যেন \( f(x) = y \) হয়। অর্থাৎ \( f(A) = B \)।
উদাহরণ: \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( f(x) = x^3 \) সার্বিক ফাংশন।
অ-উদাহরণ: \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( f(x) = x^2 \) সার্বিক নয়, কারণ নেতিবাচক সংখ্যাগুলো ছবি নয়।
৩. এক-এক ও সার্বিক ফাংশন (Bijective Function)
যে ফাংশন একই সাথে এক-এক এবং সার্বিক, তাকে এক-এক ও সার্বিক বা বিজোড় ফাংশন বলে। এর মাধ্যমে দুটি সেটের মধ্যে এক-এক সংবাদ স্থাপিত হয়।
উদাহরণ: \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( f(x) = 2x + 1 \) একটি বিজোড় ফাংশন।
৪. অন্তর্ভুক্তিমূলক ফাংশন (Into Function)
যে ফাংশন সার্বিক নয়, অর্থাৎ কোডোমেইনের কমপক্ষে একটি উপাদানের প্রাক্-ছবি ডোমেইনে নেই, তাকে অন্তর্ভুক্তিমূলক ফাংশন বলে।
৫. বহু-এক ফাংশন (Many-One Function)
যে ফাংশন এক-এক নয়, অর্থাৎ ডোমেইনের দুটি ভিন্ন উপাদানের ছবি একই হয়, তাকে বহু-এক ফাংশন বলে।
উদাহরণ: \( f(x) = x^2 \), \( f(x) = \sin x \), \( f(x) = |x| \) ইত্যাদি বহু-এক ফাংশন।
৬. স্থির ফাংশন (Constant Function)
যে ফাংশনে ডোমেইনের সব উপাদানের ছবি একই থাকে।
সংজ্ঞা: \( f: A \to B \) স্থির ফাংশন যদি \( \forall x \in A \), \( f(x) = c \) হয়, যেখানে \( c \in B \) একটি নির্দিষ্ট উপাদান।
৭. অভেদ ফাংশন (Identity Function)
যে ফাংশনে প্রতিটি উপাদানের ছবি স্বয়ং সেই উপাদান।
সংজ্ঞা: \( I_A: A \to A \) যেখানে \( I_A(x) = x \), \( \forall x \in A \)
বিপরীত ফাংশন (Inverse Function)
যদি \( f: A \to B \) একটি বিজোড় ফাংশন (bijective) হয়, তবে এর একটি বিপরীত ফাংশন \( f^{-1}: B \to A \) বিদ্যমান থাকে যা \( B \) এর প্রতিটি উপাদানকে \( A \) এর সেই অনন্য উপাদানের সাথে জোড়া বাঁধে যার ছবি সেটি।
সংজ্ঞা: \( f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow f(x) = y \)
বিপরীত ফাংশনের শর্তসমূহ
- মূল ফাংশনটি অবশ্যই এক-এক হতে হবে
- মূল ফাংশনটি অবশ্যই সার্বিক হতে হবে
- বিপরীত ফাংশনের ডোমেইন = মূল ফাংশনের রেঞ্জ
- বিপরীত ফাংশনের রেঞ্জ = মূল ফাংশনের ডোমেইন
উদাহরণ:
ধরি \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( f(x) = 2x + 3 \)
ধরি \( y = 2x + 3 \)
বা, \( 2x = y - 3 \)
বা, \( x = \dfrac{y - 3}{2} \)
সুতরাং, \( f^{-1}(y) = \dfrac{y - 3}{2} \) বা \( f^{-1}(x) = \dfrac{x - 3}{2} \)
পরীক্ষা: \( f(f^{-1}(x)) = f\left(\dfrac{x-3}{2}\right) = 2 \cdot \dfrac{x-3}{2} + 3 = x \) ✓
যৌগিক ফাংশন (Composite Function)
যদি \( f: A \to B \) এবং \( g: B \to C \) দুটি ফাংশন হয়, তবে \( A \) হতে \( C \) তে একটি নতুন ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা যায় যাকে \( g \) ও \( f \) এর যৌগিক ফাংশন বলে।
সংজ্ঞা: \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \), \( \forall x \in A \)
লক্ষ্য করুন: প্রথমে \( f \) ক্রিয়া করে, তারপর \( g \) ক্রিয়া করে।
যৌগিক ফাংশনের বৈশিষ্ট্য
- সাহচর্য সূত্র (Associative): \( h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f \)
- বিনিময় সূত্র প্রযোজ্য নয়: সাধারণত \( g \circ f \neq f \circ g \)
- অভেদ ফাংশনের সাথে: \( f \circ I_A = f \) এবং \( I_B \circ f = f \)
- বিপরীত ফাংশনের সাথে: \( f^{-1} \circ f = I_A \) এবং \( f \circ f^{-1} = I_B \)
উদাহরণ:
ধরি \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( f(x) = x + 2 \) এবং \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( g(x) = x^2 \)
তাহলে:
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x+2) = (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \)
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = x^2 + 2 \)
স্পষ্টতই \( g \circ f \neq f \circ g \)
ফাংশনের লেখচিত্র (Graph of Function)
ফাংশন \( y = f(x) \) এর লেখচিত্র হলো কার্তেসীয় সমতলে সেই সব বিন্দু \( (x, y) \) এর সেট যেখানে \( y = f(x) \)।
লেখচিত্র পরীক্ষার নিয়ম (Vertical Line Test)
একটি সম্পর্ককে ফাংশন বলা যাবে যদি কার্তেসীয় সমতলে অঙ্কিত যেকোনো উল্লম্ব রেখা (vertical line) লেখচিত্রকে সর্বাধিক একবিন্দুতে ছেদ করে। যদি দুইবিন্দুতে ছেদ করে, তবে এটি ফাংশন নয়।
বিভিন্ন ফাংশনের লেখচিত্রের বৈশিষ্ট্য
- এক-এক ফাংশন: কোনো অনুভূমিক রেখা (horizontal line) লেখচিত্রকে একের অধিকবার ছেদ করবে না (Horizontal Line Test)।
- সার্বিক ফাংশন: কোডোমেইনের অন্তর্গত সব \( y \) মানের জন্য অন্তত একটি \( x \) মান থাকবে।
- বিজোড় ফাংশন: উল্লম্ব ও অনুভূমিক উভয় পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়।
ফাংশনের বীজগাণিতিক ক্রিয়া
দুটি ফাংশন \( f \) ও \( g \) এর যোগফল, বিয়োগফল, গুণফল ও ভাগফল সংজ্ঞায়িত করা যায়:
যোগফল: \( (f + g)(x) \)
\( (f + g)(x) = f(x) + g(x) \)
ডোমেইন: \( D_f \cap D_g \)
বিয়োগফল: \( (f - g)(x) \)
\( (f - g)(x) = f(x) - g(x) \)
ডোমেইন: \( D_f \cap D_g \)
গুণফল: \( (f \cdot g)(x) \)
\( (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) \)
ডোমেইন: \( D_f \cap D_g \)
ভাগফল: \( \left(\dfrac{f}{g}\right)(x) \)
\( \left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} \)
ডোমেইন: \( D_f \cap D_g \), যেখানে \( g(x) \neq 0 \)
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- ফাংশন \( f: A \to B \) হলো একটি নিয়ম যেখানে \( A \) এর প্রতিটি উপাদান \( B \) এর একটি নির্দিষ্ট উপাদানের সাথে যুক্ত থাকে।
- ডোমেইন: স্বাধীন চলকের সেট; রেঞ্জ: প্রকৃত মানের সেট; কোডোমেইন: সম্ভাব্য মানের সেট।
- এক-এক ফাংশনে ভিন্ন উপাদানের ভিন্ন ছবি; সার্বিক ফাংশনে কোডোমেইনের সব উপাদানই ছবি।
- বিজোড় (বিপরীতযোগ্য) ফাংশনের জন্য অবশ্যই এক-এক ও সার্বিক হতে হবে।
- যৌগিক ফাংশন \( g \circ f \) এ প্রথমে \( f \) তারপর \( g \) প্রয়োগ হয়।
- ফাংশন কি না তা নির্ণয়ে উল্লম্ব রেখা পরীক্ষা প্রয়োগ করা হয়।