২.১ বীজগাণিতিক রাশি (Algebraic Expressions)
বীজগাণিতিক রাশি হলো সংখ্যা, চলক ও চারটি প্রাথমিক গাণিতিক ক্রিয়া (যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ) দ্বারা গঠিত গাণিতিক বাক্য। এই অধ্যায়ে আমরা বহুপদী (Polynomial) সংক্রান্ত বিভিন্ন ধারণা, উৎপাদকে বিশ্লেষণের পদ্ধতি, অংশশত ও গুণনীয়ক উপপাদ্য এবং বীজগাণিতিক ভগ্নাংশ নিয়ে আলোচনা করব।
বহুপদী (Polynomial) সংক্রান্ত ধারণা
বহুপদীর সংজ্ঞা
একটি চলকের ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ঘাত বিশিষ্ট রাশির যোগফলকে বহুপদী বলে। সাধারণত \( x \) চলকের বহুপদীকে নিচের রূপে প্রকাশ করা হয়:
\( P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 \)
যেখানে \( a_n, a_{n-1}, \dots, a_0 \) বাস্তব সংখ্যা এবং \( n \) একটি অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
মৌলিক পরিভাষা
- পদ (Term): বহুপদীর প্রতিটি যোগ্য অংশ। যেমন: \( 3x^2 \), \( -5x \), \( 7 \) পৃথক পৃথক পদ।
- সহগ (Coefficient): চলকের সাথে গুণিত সংখ্যা। যেমন: \( 3x^2 \) এ 3 হলো সহগ।
- চলকের ঘাত (Degree): প্রতিটি পদে চলকের ঘাত। যেমন: \( x^3 \) এর ঘাত 3।
-
বহুপদীর ঘাত (Degree of Polynomial): সর্বোচ্চ ঘাত বিশিষ্ট পদের ঘাত।
\( P(x) = 2x^4 - 3x^2 + 5x - 1 \) এর ঘাত 4।
- অবকল পদ (Constant Term): চলকবিহীন পদ। যেমন: উপরের বহুপদীতে \(-1\)।
বহুপদীর প্রকারভেদ
- একচলকী বহুপদী: একটি চলক বিশিষ্ট। যেমন: \( 3x^2 + 2x - 5 \)
- দ্বিচলকী বহুপদী: দুটি চলক বিশিষ্ট। যেমন: \( x^2 + 2xy + y^2 \)
- শূন্য বহুপদী: সকল সহগ শূন্য হলে (\( P(x) = 0 \))। এর ঘাত অপ্রভাবশালী।
- অপরিবর্তনীয় বহুপদী (Constant Polynomial): শূন্য ঘাতের বহুপদী। যেমন: \( P(x) = 5 \)
ঘাত অনুযায়ী বিশেষ নামকরণ
| ঘাত | নাম | সাধারণ রূপ |
|---|---|---|
| 1 | রৈখিক বহুপদী (Linear) | \( ax + b \), \( a \neq 0 \) |
| 2 | দ্বিঘাত বহুপদী (Quadratic) | \( ax^2 + bx + c \), \( a \neq 0 \) |
| 3 | ত্রিঘাত বহুপদী (Cubic) | \( ax^3 + bx^2 + cx + d \), \( a \neq 0 \) |
| 4 | চতুর্ঘাত বহুপদী (Quartic/Biquadratic) | \( ax^4 + \dots \), \( a \neq 0 \) |
বীজগাণিতিক সূত্রাবলী (Algebraic Formulas)
বীজগাণিতিক রাশির সংকুচন ও বিস্তারে নিচের সূত্রগুলো অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ:
মৌলিক সূত্রসমূহ
সমবর্গ সূত্র
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
বর্গবিয়োগ সূত্র
\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)
\(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\)
\(a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab\)
ঘন সূত্র
\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
\(= a^3 + b^3 + 3ab(a + b)\)
\((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)
\(= a^3 - b^3 - 3ab(a - b)\)
ঘনবিয়োগ ও ঘনযোগ সূত্র
\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)
\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)
বিশেষ সূত্রাবলী
- \((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\)
- \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)\)
- যদি \(a + b + c = 0\) হয়, তবে \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\)
- \((a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)\)
- \((a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab\)
উদাহরণ:
\(x^2 + 6x + 9 = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + (3)^2 = (x + 3)^2\)
\(8x^3 - 27 = (2x)^3 - (3)^3 = (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)\)
উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)
উৎপাদকে বিশ্লেষণ বলতে বোঝায় একটি বীজগাণিতিক রাশিকে দুই বা ততোধিক গুণনীয়কের রূপে প্রকাশ করা। এটি বহুপদী সরলীকরণের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ অংশ।
উৎপাদকে বিশ্লেষণের পদ্ধতি
১. সাধারণ গুণনীয়ক বের করা
সকল পদের সাধারণ গুণনীয়ক বের করে বন্ধনীর বাইরে রাখা হয়।
\(6x^2y + 9xy^2 = 3xy(2x + 3y)\)
\(ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)\)
২. সূত্র প্রয়োগ পদ্ধতি
উপরোক্ত বীজগাণিতিক সূত্রাবলী প্রয়োগ করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ।
\(4x^2 - 25 = (2x)^2 - (5)^2 = (2x + 5)(2x - 5)\)
\(x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)\)
৩. মধ্যপদ বিচ্ছিন্নকরণ (Middle Term Splitting)
দ্বিঘাত বহুপদী \(ax^2 + bx + c\) এর ক্ষেত্রে:
- \(ac\) এর এমন দুটি গুণনীয়ক বের করতে হবে যাদের যোগফল \(b\) হয়।
- মধ্যপদকে দুই ভাগ করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ।
\(x^2 + 5x + 6\)
এখানে \(6 = 2 \times 3\) এবং \(2 + 3 = 5\)
\(\therefore x^2 + 5x + 6 = x^2 + 2x + 3x + 6 = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3)\)
৪. দ্বিঘাতীক সূত্র
\(ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)\), যেখানে \(\alpha, \beta\) হলো শূন্যস্থান (roots)।
৫. ভাগ পদ্ধতি
অংশশত উপপাদ্য ব্যবহার করে উৎপাদক নির্ণয় (নিচে বিস্তারিত)।
বহুপদীর ভাগ (Division of Polynomials)
যদি দুটি বহুপদী \(P(x)\) (ভাজ্য) এবং \(D(x) \neq 0\) (ভাজক) দেওয়া থাকে, তবে অন্য দুটি বহুপদী \(Q(x)\) (ভাগফল) এবং \(R(x)\) (ভাগশেষ) বিদ্যমান থাকে যেন:
\(P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)\)
যেখানে \(R(x) = 0\) অথবা \(\deg R(x) < \deg D(x)\)
ভাগ করার পদ্ধতি
- দীর্ঘ ভাগ পদ্ধতি: সাধারণ ভাগের নিয়ম অনুসরণ।
- সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি: কৃত্রিম গুণনীয়ক ব্যবহার।
উদাহরণ:
\(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) কে \(x - 2\) দ্বারা ভাগ করলে:
ভাগফল: \(x^2 - 4x + 3\)
ভাগশেষ: \(0\)
যাচাই: \((x - 2)(x^2 - 4x + 3) = x^3 - 4x^2 + 3x - 2x^2 + 8x - 6 = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) ✓
অংশশত উপপাদ্য (Remainder Theorem)
উপপাদ্য:
যদি বহুপদী \(P(x)\) কে \((x - a)\) দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে প্রাপ্ত ভাগশেষ হলো \(P(a)\)।
অর্থাৎ, \(P(x) = (x - a) \cdot Q(x) + P(a)\)
প্রয়োগ
এই উপপাদ্য ব্যবহার করে ভাগ না করেই ভাগশেষ নির্ণয় করা যায়।
উদাহরণ ১:
\(P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) কে \((x - 2)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত?
সমাধান: \(P(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 11(2) - 6 = 8 - 24 + 22 - 6 = 0\)
সুতরাং ভাগশেষ 0। (অর্থাৎ \((x - 2)\) একটি গুণনীয়ক)
উদাহরণ ২:
\(x^3 + 2x^2 - 5x - 6\) কে \((x + 2)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত?
সমাধান: \(x + 2 = x - (-2)\), সুতরাং \(a = -2\)
\(P(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 5(-2) - 6 = -8 + 8 + 10 - 6 = 4\)
সুতরাং ভাগশেষ 4।
গুণনীয়ক উপপাদ্য (Factor Theorem)
গুণনীয়ক উপপাদ্য হলো অংশশত উপপাদ্যের একটি বিশেষ প্রয়োগ।
উপপাদ্য:
বহুপদী \(P(x)\) এর \((x - a)\) একটি গুণনীয়ক হবে তখনই এবং কেবল তখনই, যখন \(P(a) = 0\)।
গুরুত্ব
এই উপপাদ্য ব্যবহার করে বহুপদীর গুণনীয়ক নির্ণয় এবং উৎপাদকে বিশ্লেষণ সহজ হয়।
উদাহরণ:
দেখাও যে \((x - 2)\) হলো \(P(x) = x^3 - 3x^2 + 4\) এর একটি গুণনীয়ক এবং সম্পূর্ণ উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
সমাধান:
\(P(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0\)
সুতরাং \((x - 2)\) একটি গুণনীয়ক।
এখন ভাগ করে বা মধ্যপদ বিচ্ছিন্ন করে:
\(x^3 - 3x^2 + 4 = (x - 2)(x^2 - x - 2) = (x - 2)(x - 2)(x + 1) = (x - 2)^2(x + 1)\)
গুণনীয়ক নির্ণয়ের কৌশল
যদি \(P(x) = a_nx^n + \dots + a_0\) হয়, তবে সম্ভাব্য বীজ গুলো হলো \(\pm \dfrac{\text{অবকল পদের গুণনীয়ক}}{\text{সর্বোচ্চ ঘাত পদের সহগের গুণনীয়ক}}\)।
\(P(x) = 2x^3 - 9x^2 + 7x + 6\) এর ক্ষেত্রে:
সম্ভাব্য বীজ: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}\)
পরীক্ষা করে দেখা যায় \(P(3) = 0\), সুতরাং \((x - 3)\) একটি গুণনীয়ক।
বীজগাণিতিক ভগ্নাংশ (Algebraic Fractions)
দুটি বহুপদীর ভাগফলকে বীজগাণিতিক ভগ্নাংশ বলে। যেমন: \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\), যেখানে \(Q(x) \neq 0\)।
সরলীকরণ
লব ও হরের উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে সাধারণ গুণনীয়ক কাটা যায়।
\(\dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} = \dfrac{(x - 2)(x - 3)}{(x + 2)(x - 2)} = \dfrac{x - 3}{x + 2}\), যেখানে \(x \neq 2\)
যোগ ও বিয়োগ
হরের লসাগু নিয়ে যোগ বা বিয়োগ করা হয়।
\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{x+1 + x}{x(x+1)} = \dfrac{2x+1}{x(x+1)}\)
গুণ ও ভাগ
- গুণ: \(\dfrac{P}{Q} \times \dfrac{R}{S} = \dfrac{P \times R}{Q \times S}\)
- ভাগ: \(\dfrac{P}{Q} \div \dfrac{R}{S} = \dfrac{P}{Q} \times \dfrac{S}{R} = \dfrac{PS}{QR}\)
অপরিমেয় ভগ্নাংশ (Partial Fractions)
একটি জটিল ভগ্নাংশকে সহজ ভগ্নাংশে বিভক্ত করা। সাধারণত হরকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে এই কাজ করা হয়।
\(\dfrac{3x + 5}{(x - 1)(x + 2)} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 2}\)
সমাধান করে \(A = \frac{8}{3}\), \(B = \frac{1}{3}\) পাওয়া যায়।
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- বহুপদীর ঘাত নির্ণয় করতে হলে সর্বোচ্চ ঘাত বিশিষ্ট পদটি দেখতে হবে।
- \((a+b)^2, (a-b)^2, a^2-b^2, a^3 \pm b^3\) সূত্রগুলো মুখস্থ করতে হবে।
- উৎপাদকে বিশ্লেষণে সাধারণ গুণনীয়ক, সূত্র প্রয়োগ ও মধ্যপদ বিচ্ছিন্নকরণ পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।
- অংশশত উপপাদ্য: \((x-a)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ \(P(a)\)।
- গুণনীয়ক উপপাদ্য: \((x-a)\) গুণনীয়ক \(\Leftrightarrow P(a) = 0\)।
- বীজগাণিতিক ভগ্নাংশ সরলীকরণে উৎপাদকে বিশ্লেষণ অপরিহার্য।