১২.১ সমতলীয় ভেক্টর (Planar Vectors)
ভেক্টর (Vector) হলো এমন একটি ভৌত রাশি যার মান ও দিক উভয়ই থাকে, যেমন— বেগ, ত্বরণ, বল ইত্যাদি। এই অধ্যায়ে আমরা দ্বিমাত্রিক (সমতলীয়) ভেক্টরের সংজ্ঞা, প্রকারভেদ, যোগ-বিয়োগ, স্কেলার দ্বারা গুণন, এবং অবস্থান ভেক্টরের সাহায্যে দূরত্ব ও অনুপাত নির্ণয়ের সূত্রাবলী আলোচনা করব।
ভেক্টর ও স্কেলার (Vectors and Scalars)
সংজ্ঞা
ভেক্টর রাশি (Vector Quantity): যে রাশির মান (magnitude) ও দিক (direction) উভয়ই নির্দিষ্ট থাকে, তাকে ভেক্টর রাশি বলে। যেমন— সরণ, বেগ, ত্বরণ, বল, ভরবেগ ইত্যাদি। ভেক্টরকে তীর চিহ্নযুক্ত রেখাংশ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
স্কেলার রাশি (Scalar Quantity): যে রাশির শুধু মান থাকে কিন্তু কোনো দিক নেই, তাকে স্কেলার রাশি বলে। যেমন— ভর, দূরত্ব, সময়, তাপমাত্রা, ক্ষেত্রফল ইত্যাদি।
ভেক্টরের প্রতীক ও স্বরূপ
- চিহ্ন: কোনো ভেক্টর \( \vec{a} \) বা \( \mathbf{a} \) দ্বারা সূচিত করা হয়। কেবল মান (পরিমাণ) \( |\vec{a}| \) বা \( a \) দ্বারা।
- ভূলক্ষেত্র প্রকাশ: ভেক্টরকে নির্দেশকারী রেখাংশের প্রান্তীয় বিন্দু দ্বারাও প্রকাশ করা যায়। যেমন— \( \overrightarrow{AB} \), যার মান \( |\overrightarrow{AB}| \) বা কেবল \( AB \)।
ভেক্টরের প্রকারভেদ (Types of Vectors)
- শূন্য ভেক্টর (Zero Vector বা Null Vector): মান শূন্য এবং দিক অনির্দিষ্ট এমন ভেক্টর। এর প্রতীক \( \vec{0} \)। কোনো বিন্দু থেকে সেই বিন্দুতেই ফিরে আসা সরণ শূন্য ভেক্টর।
- একক ভেক্টর (Unit Vector): মান এক এমন ভেক্টর। \( \hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \) হলো \( \vec{a} \) দিকের একক ভেক্টর। \( |\hat{a}| = 1 \)।
- সমান ভেক্টর (Equal Vectors): একই মান ও একই দিক বিশিষ্ট ভেক্টর। \( \vec{a} = \vec{b} \) হলে \( |\vec{a}| = |\vec{b}| \) এবং দিক একই।
- বিপরীত ভেক্টর (Negative Vector): একই মান কিন্তু বিপরীত দিক বিশিষ্ট ভেক্টর। \( -\vec{a} \) হলো \( \vec{a} \) এর বিপরীত ভেক্টর।
- স্থির বিন্দু ভেক্টর (Localized Vector): নির্দিষ্ট প্রান্তবিন্দু বিশিষ্ট ভেক্টর।
- মুক্ত ভেক্টর (Free Vector): যে কোনো বিন্দুতে স্থানান্তরযোগ্য ভেক্টর।
- সহরেখা ভেক্টর (Collinear Vectors): একই রেখার সমান্তরাল রেখায় অবস্থিত ভেক্টর। এরা একে অপরের স্কেলার গুণিতক।
ভেক্টরের ক্রিয়াকলাপ (Operations on Vectors)
১. ভেক্টরের যোগ (Addition of Vectors)
ক) ত্রিভুজ সূত্র (Triangle Law)
যদি দুটি ভেক্টর \( \vec{a} \) ও \( \vec{b} \) কে এমনভাবে সাজানো যায় যে \( \vec{a} \) এর শেষ বিন্দু \( \vec{b} \) এর আরম্ভ বিন্দু হয়, তবে তাদের যোগফল \( \vec{a} + \vec{b} \) হলো \( \vec{a} \) এর আরম্ভ থেকে \( \vec{b} \) এর শেষ পর্যন্ত সংযোগকারী ভেক্টর।
যদি \( \overrightarrow{AB} = \vec{a} \) এবং \( \overrightarrow{BC} = \vec{b} \), তবে \( \overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b} \)।
খ) সামান্তরিক সূত্র (Parallelogram Law)
যদি দুটি ভেক্টর একই বিন্দুতে আরম্ভ হয় এবং সামান্তরিকের দুটি সংলগ্ন বাহু হিসেবে অবস্থান করে, তবে তাদের যোগফল হলো উক্ত বিন্দু থেকে সামান্তরিকের কর্ণ বরাবর সংযোগকারী ভেক্টর।
যদি \( \overrightarrow{OA} = \vec{a} \) এবং \( \overrightarrow{OB} = \vec{b} \), এবং \( OACB \) একটি সামান্তরিক হয়, তবে \( \overrightarrow{OC} = \vec{a} + \vec{b} \)।
গ) বৈশিষ্ট্যসমূহ
- বিনিময় সূত্র: \( \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \)
- সাহচর্য সূত্র: \( (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) \)
- অভেদক: \( \vec{a} + \vec{0} = \vec{a} \)
- বিপরীত ভেক্টর: \( \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0} \)
২. ভেক্টরের বিয়োগ (Subtraction of Vectors)
\( \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) \)
অর্থাৎ \( \vec{b} \) এর বিপরীত ভেক্টরের সাথে \( \vec{a} \) যোগ করলে বিয়োগ হয়।
৩. স্কেলার দ্বারা গুণন (Multiplication by Scalar)
ভেক্টর \( \vec{a} \) কে স্কেলার \( m \) দ্বারা গুণ করলে একটি নতুন ভেক্টর \( m\vec{a} \) পাওয়া যায় যার:
- মান \( = |m| \times |\vec{a}| \)
- দিক \( = \vec{a} \) এর দিকের অনুরূপ যদি \( m > 0 \), বিপরীত যদি \( m < 0 \)
বিশেষ ক্ষেত্র:
- \( m = 0 \) হলে \( 0 \cdot \vec{a} = \vec{0} \)
- \( m = -1 \) হলে \( (-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a} \)
বণ্টন সূত্র:
- \( m(\vec{a} + \vec{b}) = m\vec{a} + m\vec{b} \)
- \( (m + n)\vec{a} = m\vec{a} + n\vec{a} \)
- \( m(n\vec{a}) = (mn)\vec{a} \)
অবস্থান ভেক্টর (Position Vector)
নির্দিষ্ট একটি স্থির বিন্দু \( O \) (মূল বিন্দু বা উৎপত্তি) হতে যেকোনো বিন্দু \( P \) এর অবস্থান নির্দেশক ভেক্টর \( \overrightarrow{OP} \) কে বিন্দু \( P \) এর অবস্থান ভেক্টর (Position Vector) বলে।
সাধারণত \( \vec{r} \) বা \( \overrightarrow{r} \) দ্বারা সূচিত করা হয়।
ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্কে (SSC পর্যায়ে প্রধানত দ্বিমাত্রিক)
যদি বিন্দু \( P \) এর স্থানাঙ্ক \( (x, y) \) এবং মূল বিন্দু \( O(0, 0) \) হয়, তবে: \[ \vec{r} = \overrightarrow{OP} = x\hat{i} + y\hat{j} \] যেখানে \( \hat{i} \) ও \( \hat{j} \) যথাক্রমে \( x \) ও \( y \) অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর।
ভেক্টরের মান: \[ |\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
দুই বিন্দুর মধ্যকার ভেক্টর
যদি \( A \) ও \( B \) বিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \( \vec{a} \) ও \( \vec{b} \) হয়, তবে: \[ \overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} \]
এবং \( A \) থেকে \( B \) পর্যন্ত দূরত্ব: \[ AB = |\overrightarrow{AB}| = |\vec{b} - \vec{a}| \]
উদাহরণ:
বিন্দু \( A(2, 3) \) এবং \( B(5, 7) \) হলে \( \overrightarrow{AB} \) নির্ণয় কর।
সমাধান:
অবস্থান ভেক্টর: \( \vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} \), \( \vec{b} = 5\hat{i} + 7\hat{j} \)
\[ \overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (5-2)\hat{i} + (7-3)\hat{j} = 3\hat{i} + 4\hat{j} \]
দূরত্ব \( = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \) একক।
অবস্থান ভেক্টরে অনুপাত সূত্র (Section Formula)
অন্তর্বিভাজন (Internal Division)
যদি বিন্দু \( C \), \( AB \) রেখাংশকে অনুপাত \( m:n \) এ অন্তর্বিভাজন করে, এবং \( A \) ও \( B \) এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \( \vec{a} \) ও \( \vec{b} \) হয়, তবে \( C \) এর অবস্থান ভেক্টর: \[ \vec{c} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m + n} \]
বহির্বিভাজন (External Division)
যদি বিন্দু \( C \), \( AB \) রেখাংশকে অনুপাত \( m:n \) এ বহির্বিভাজন করে, তবে: \[ \vec{c} = \frac{m\vec{b} - n\vec{a}}{m - n} \]
মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
যখন \( m = n = 1 \) (অর্থাৎ মধ্যবিন্দু): \[ \vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \]
উদাহরণ:
বিন্দু \( A \) ও \( B \) এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \( 2\hat{i} + 3\hat{j} \) এবং \( 4\hat{i} + 5\hat{j} \)। বিন্দু \( C \) যদি \( AB \) কে \( 2:1 \) অনুপাতে অন্তর্বিভাজন করে, তবে \( \vec{c} \) নির্ণয় কর।
সমাধান:
\( m = 2, n = 1 \)
\[ \vec{c} = \frac{2(4\hat{i} + 5\hat{j}) + 1(2\hat{i} + 3\hat{j})}{2 + 1} \]
\[ = \frac{(8\hat{i} + 10\hat{j}) + (2\hat{i} + 3\hat{j})}{3} \]
\[ = \frac{10\hat{i} + 13\hat{j}}{3} = \frac{10}{3}\hat{i} + \frac{13}{3}\hat{j} \]
বিন্দু গুণন বা স্কেলার গুণন (Dot Product / Scalar Product)
দুটি ভেক্টর \( \vec{a} \) ও \( \vec{b} \) এর মধ্যকার কোণ \( \theta \) হলে, তাদের বিন্দু গুণন: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \]
ফলাফল একটি স্কেলার রাশি।
বৈশিষ্ট্যসমূহ
- \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \) (বিনিময় সূত্র)
- \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \) অথবা \( |\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} \)
- যদি \( \vec{a} \perp \vec{b} \) (লম্ব), তবে \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \)
- যদি \( \theta = 0^\circ \), তবে \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \)
Cartesian স্থানাঙ্কে
যদি \( \vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} \) এবং \( \vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} \), তবে: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 \]
এবং কোণ নির্ণয়: \[ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{a_1b_1 + a_2b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2}} \]
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- ভেক্টর: মান ও দিক উভয়ই আছে (যেমন \( \vec{a}, \overrightarrow{AB} \))।
- যোগ সূত্র: ত্রিভুজ সূত্র \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \) বা সামান্তরিক সূত্র।
- স্কেলার গুণন: \( m\vec{a} \) এর মান \( |m||\vec{a}| \), দিক \( m \) এর চিহ্ন অনুযায়ী।
- অবস্থান ভেক্টর: মূল বিন্দু হতে বিন্দু \( P(x,y) \) পর্যন্ত \( \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} \)।
- দূরত্ব: \( AB = |\vec{b} - \vec{a}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)।
- অনুপাত সূত্র (অন্তর্বিভাজন): \( \vec{c} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n} \)।
- মধ্যবিন্দু: \( \vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \)।
- বিন্দু গুণন: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_1b_1 + a_2b_2 \)।
- লম্বতা শর্ত: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \)।