৫.৪ মূলদ ভগ্নাংশের যোগজীকরণ
যখন যোগজ্য একটি মূলদ ভগ্নাংশ (Rational Function) \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) আকারের হয়, তখন তাকে আংশিক ভগ্নাংশে (Partial Fractions) বিশ্লেষণ করে সরল যোগজ্যে রূপান্তর করা যায়। এই অধ্যায়ে আমরা শিখবো কীভাবে বিভিন্ন ধরনের উৎপাদকের জন্য আংশিক ভগ্নাংশ নির্ণয় করা যায় এবং কীভাবে তাদের যোগজ করা যায়।
মূলদ ভগ্নাংশ: সংজ্ঞা ও প্রকারভেদ
সঠিক ও অসঠিক ভগ্নাংশ
মূলদ ভগ্নাংশ হলো \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) আকারের একটি ফাংশন, যেখানে \(P(x)\) ও \(Q(x)\) বহুপদী এবং \(Q(x) \neq 0\)।
সঠিক ভগ্নাংশ (Proper Fraction)
যখন \(\deg P(x) < \deg Q(x)\)
উদাহরণ: \(\frac{3x+2}{x^2+4x+3}\)
সরাসরি আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষণযোগ্য
অসঠিক ভগ্নাংশ (Improper Fraction)
যখন \(\deg P(x) \geq \deg Q(x)\)
উদাহরণ: \(\frac{x^3+2}{x^2+1}\)
প্রথমে বহুপদী ভাগ করে সঠিক ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হয়
অসঠিক ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে পদ্ধতি
যদি \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) অসঠিক হয়, তবে \(P(x)\) কে \(Q(x)\) দ্বারা ভাগ করতে হবে (দীর্ঘ ভাগ পদ্ধতি)। এতে একটি বহুপদী ও একটি সঠিক ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে:
\[\frac{P(x)}{Q(x)} = S(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}\]
যেখানে \(S(x)\) ভাগফল (বহুপদী) এবং \(\frac{R(x)}{Q(x)}\) সঠিক ভগ্নাংশ যেখানে \(\deg R(x) < \deg Q(x)\)।
উদাহরণ:
\(\frac{x^2+3x+5}{x+1}\) কে সঠিক ভগ্নাংশে রূপান্তর করো।
সমাধান:
ভাগ করে: \(x^2+3x+5 = (x+1)(x+2) + 3\)
সুতরাং \(\frac{x^2+3x+5}{x+1} = x+2 + \frac{3}{x+1}\)
এখন \(\frac{3}{x+1}\) কে আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষণ করা যাবে।
আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষণের নিয়ম
হর \(Q(x)\) কে প্রথমে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে। তারপর উৎপাদকের ধরন অনুযায়ী নিচের নিয়মগুলো প্রয়োগ করতে হবে:
ক্ষেত্র ১: অপ্রত্যাশিত রৈখিক উৎপাদক (Linear Distinct Factors)
যদি \(Q(x) = (x-a)(x-b)(x-c)\dots\) হয়, যেখানে সব উৎপাদক ভিন্ন, তবে:
\[\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)(x-c)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} + \frac{C}{x-c} + \dots\]
যেখানে \(A, B, C\) ধ্রুবক।
ক্ষেত্র ২: পুনরাবৃত্ত রৈখিক উৎপাদক (Linear Repeated Factors)
যদি \((x-a)^n\) আকারের উৎপাদক থাকে, তবে:
\[\frac{P(x)}{(x-a)^3(\text{অন্যান্য})} = \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \frac{A_3}{(x-a)^3} + \dots\]
অর্থাৎ, ঘাত \(n\) এর জন্য \(n\) টি পদ থাকবে, প্রতিটির ঘাত ১ থেকে \(n\) পর্যন্ত।
ক্ষেত্র ৩: অপ্রত্যাশিত অনুমোদনযোগ্য দ্বিঘাত উৎপাদক (Irreducible Quadratic Factors)
যদি \(Q(x)\) এর একটি উৎপাদক \(ax^2+bx+c\) হয় যেখানে \(b^2-4ac < 0\) (অর্থাৎ বাস্তব উৎপাদকে বিশ্লেষণযোগ্য নয়), তবে:
\[\frac{P(x)}{(ax^2+bx+c)(\text{অন্যান্য})} = \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c} + \dots\]
লবে রৈখিক বহুপদী \(Ax+B\) থাকবে।
ক্ষেত্র ৪: পুনরাবৃত্ত দ্বিঘাত উৎপাদক (Repeated Quadratic Factors)
যদি \((ax^2+bx+c)^n\) আকারের উৎপাদক থাকে, তবে:
\[ = \frac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c} + \frac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2} + \dots + \frac{A_nx+B_n}{(ax^2+bx+c)^n}\]
ধ্রুবক নির্ণয়ের পদ্ধতি
আংশিক ভগ্নাংশের ধ্রুবকগুলো \(A, B, C\) ইত্যাদি নির্ণয়ের জন্য দুটি প্রধান পদ্ধতি ব্যবহৃত হয়:
১. সম্যাক্ষরিক পদ্ধতি (Method of Equating Coefficients)
উভয় পক্ষকে হরের সাথে গুণ করে, তারপর \(x\) এর বিভিন্ন ঘাতের সহগ তুলনা করে সমীকরণ গঠন ও সমাধান করা হয়।
২. মান প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Substitution Method / Heaviside Cover-up)
উৎপাদকগুলোর শূন্যস্থান (roots) বা বিশেষ মানগুলোতে \(x\) এর মান বসিয়ে সরাসরি ধ্রুবক নির্ণয় করা যায়। এটি রৈখিক অপ্রত্যাশিত উৎপাদকের জন্য বিশেষভাবে কার্যকর।
উদাহরণ: ধ্রুবক নির্ণয়
\(\frac{5x+1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}\) হলে \(A\) ও \(B\) নির্ণয় করো।
সমাধান (মান প্রতিস্থাপন):
উভয় পক্ষকে \((x-1)(x+2)\) দ্বারা গুণ: \(5x+1 = A(x+2) + B(x-1)\)
\(x = 1\) বসালে: \(5(1)+1 = A(3) \Rightarrow 6 = 3A \Rightarrow A = 2\)
\(x = -2\) বসালে: \(5(-2)+1 = B(-3) \Rightarrow -9 = -3B \Rightarrow B = 3\)
বিভিন্ন ক্ষেত্রে যোগজীকরণের পদ্ধতি
ক্ষেত্র ১: \(\int \frac{A}{x-a} dx\)
\[\int \frac{A}{x-a} \, dx = A\ln|x-a| + C\]
ক্ষেত্র ২: \(\int \frac{A}{(x-a)^n} dx\) যেখানে \(n > 1\)
\[\int \frac{A}{(x-a)^n} \, dx = \frac{A}{(1-n)(x-a)^{n-1}} + C\]
বা \(\int A(x-a)^{-n} \, dx = \frac{A(x-a)^{-n+1}}{-n+1} + C\)
ক্ষেত্র ৩: \(\int \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c} dx\) (অনুমোদনযোগ্য দ্বিঘাত)
পদ্ধতি:
- লবকে লিখুন: \(Ax+B = \frac{A}{2a}(2ax+b) + \left(B-\frac{Ab}{2a}\right)\)
- প্রথম অংশ \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)|\) আকারে যোগজ হয়
- দ্বিতীয় অংশ \(\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}\) আকারে, যা পূর্ণবর্গ করে \(\tan^{-1}\) আকারে যোগজ হয়
উদাহরণ:
\(\int \frac{2x+3}{x^2+2x+5} \, dx\)
সমাধান:
লব \(2x+3 = (2x+2) + 1 = (x^2+2x+5)\) এর অন্তরজ \(+ 1\)
\[= \int \frac{2x+2}{x^2+2x+5} dx + \int \frac{dx}{(x+1)^2+4}\]
\[= \ln|x^2+2x+5| + \frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{x+1}{2} + C\]
সম্পূর্ণ উদাহরণসমূহ
উদাহরণ ১: অপ্রত্যাশিত রৈখিক উৎপাদক
যোগজ করুন: \(\int \frac{3x+5}{x^2-5x+6} \, dx\)
সমাধান:
হর: \(x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)\)
ধরি, \(\frac{3x+5}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}\)
গুণ করে: \(3x+5 = A(x-3) + B(x-2)\)
\(x=2\): \(11 = -A \Rightarrow A = -11\)
\(x=3\): \(14 = B \Rightarrow B = 14\)
\[\int \left[\frac{-11}{x-2} + \frac{14}{x-3}\right] dx = -11\ln|x-2| + 14\ln|x-3| + C\]
\[= \ln\left|\frac{(x-3)^{14}}{(x-2)^{11}}\right| + C\]
উদাহরণ ২: পুনরাবৃত্ত রৈখিক উৎপাদক
যোগজ করুন: \(\int \frac{x^2+1}{x(x-1)^2} \, dx\)
সমাধান:
ধরি, \(\frac{x^2+1}{x(x-1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}\)
গুণ করে: \(x^2+1 = A(x-1)^2 + Bx(x-1) + Cx\)
\(x=0\): \(1 = A\)
\(x=1\): \(2 = C\)
\(x^2\) এর সহগ তুলনা: \(1 = A+B \Rightarrow B = 0\)
\[\int \left[\frac{1}{x} + \frac{2}{(x-1)^2}\right] dx = \ln|x| - \frac{2}{x-1} + C\]
উদাহরণ ৩: দ্বিঘাত উৎপাদকসহ
যোগজ করুন: \(\int \frac{2x^2-3x+3}{(x-1)(x^2+1)} \, dx\)
সমাধান:
ধরি, \(\frac{2x^2-3x+3}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}\)
গুণ করে: \(2x^2-3x+3 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)\)
\(x=1\): \(2-3+3 = A(2) \Rightarrow A = 1\)
\(x=0\): \(3 = A - C \Rightarrow C = -2\)
\(x^2\) এর সহগ: \(2 = A+B \Rightarrow B = 1\)
\[\int \left[\frac{1}{x-1} + \frac{x-2}{x^2+1}\right] dx\]
\[= \int \frac{dx}{x-1} + \int \frac{x}{x^2+1} dx - 2\int \frac{dx}{x^2+1}\]
\[= \ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln(x^2+1) - 2\tan^{-1}x + C\]
উদাহরণ ৪: অসঠিক ভগ্নাংশ
যোগজ করুন: \(\int \frac{x^3+2}{x^2-1} \, dx\)
সমাধান:
ভাগ করে: \(x^3+2 = x(x^2-1) + x + 2\)
সুতরাং \(\frac{x^3+2}{x^2-1} = x + \frac{x+2}{x^2-1} = x + \frac{x+2}{(x-1)(x+1)}\)
এখন \(\frac{x+2}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}\)
\(x+2 = A(x+1) + B(x-1)\)
\(x=1\): \(3 = 2A \Rightarrow A = 1.5\)
\(x=-1\): \(1 = -2B \Rightarrow B = -0.5\)
\[\int \left[x + \frac{3/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}\right] dx\]
\[= \frac{x^2}{2} + \frac{3}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + C\]
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- প্রস্তুতি: অসঠিক ভগ্নাংশ হলে প্রথমে বহুপদী ভাগ করে সঠিক ভগ্নাংশে রূপান্তর করুন।
- উৎপাদকে বিশ্লেষণ: হরকে রৈখিক ও দ্বিঘাত উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।
- আংশিক ভগ্নাংশের ধরন:
- \(\frac{A}{x-a}\) - রৈখিক অপ্রত্যাশিত
- \(\frac{A}{(x-a)^n}\) - রৈখিক পুনরাবৃত্ত
- \(\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}\) - দ্বিঘাত অনুমোদনযোগ্য
- ধ্রুবক নির্ণয়: মান প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Heaviside) দ্রুততর, কিন্তু সম্যাক্ষরিক পদ্ধতি সর্বজনীন।
- যোগজ: রৈখিকের জন্য \(\ln\), পুনরাবৃত্তের জন্য ঘাত নিয়ম, দ্বিঘাতের জন্য \(\ln\) ও \(\tan^{-1}\) উভয়ই প্রয়োজন হতে পারে।