১.২ নির্ণায়ক (Determinant)
প্রতিটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের সাথে একটি নির্দিষ্ট স্কেলার মান যুক্ত থাকে যাকে নির্ণায়ক (Determinant) বলে। নির্ণায়ক ম্যাট্রিক্সের বিভিন্ন গুণাগুণ নির্ধারণে এবং বীজগাণিতিক সমীকরণ সমাধানে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখে। এই অধ্যায়ে আমরা দ্বিতীয় ও তৃতীয় ক্রমের নির্ণায়ক, তাদের বৈশিষ্ট্যসমূহ, সারল্য ও সহগ এবং বিভিন্ন প্রয়োগ আলোচনা করব।
নির্ণায়কের সংজ্ঞা (Definition of Determinant)
সংজ্ঞা:
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলোকে নির্দিষ্ট নিয়মে সাজিয়ে যে বীজগাণিতিক রাশি পাওয়া যায় এবং যার মান একটি নির্দিষ্ট স্কেলার সংখ্যা হয়, তাকে ঐ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক (Determinant) বলে।
ম্যাট্রিক্স \( A \) এর নির্ণায়ককে \( |A| \) বা \( \det(A) \) বা \( \Delta \) দ্বারা সূচিত করা হয়।
- শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক সংজ্ঞায়িত হয়।
- নির্ণায়ক একটি স্কেলার রাশি (অর্থাৎ কেবল একটি সংখ্যা), ম্যাট্রিক্স নয়।
- যদি \( A \) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে \( |A| \) এর মান সংখ্যা হিসেবে পাওয়া যায়।
দ্বিতীয় ক্রমের নির্ণায়ক (Determinant of Order 2)
ধরি \( A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \) একটি \( 2 \times 2 \) ম্যাট্রিক্স।
তাহলে \( A \) এর নির্ণায়ক: \[ |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \]
নির্ণয়ের পদ্ধতি (Cross-Multiplication)
মুখ্য কর্ণের উপাদানগুলোর গুণফল থেকে অন্তঃকর্ণের উপাদানগুলোর গুণফল বিয়োগ করতে হয়।
\[ \begin{vmatrix} \overset{\searrow}{a_{11}} & \overset{\swarrow}{a_{12}} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = (a_{11} \times a_{22}) - (a_{12} \times a_{21}) \]
উদাহরণ:
যদি \( A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \), তবে \( |A| \) নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ |A| = \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = (4 \times 5) - (3 \times 2) = 20 - 6 = 14 \]
তৃতীয় ক্রমের নির্ণায়ক (Determinant of Order 3)
ধরি \( A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \)
তাহলে \( |A| \) নিম্নলিখিতভাবে প্রকাশ করা যায়: \[ |A| = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \]
বা সম্প্রসারিত রূপে: \[ |A| = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) \]
সারু পদ্ধতি (Sarrus Rule)
তৃতীয় ক্রমের নির্ণায়ক সহজে নির্ণয়ের জন্য সারু পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে:
- প্রথম দুই কলামকে নির্ণায়কের ডান দিকে পুনরায় লিখুন।
- বাম থেকে ডানে নিম্নমুখী তীর চিহ্ন (\( \searrow \)) দিয়ে যাওয়া তিনটি গুণফলের যোগফল নিন।
- ডান থেকে বামে নিম্নমুখী তীর চিহ্ন (\( \swarrow \)) দিয়ে যাওয়া তিনটি গুণফলের যোগফল নিন।
- প্রথম যোগফল থেকে দ্বিতীয় যোগফল বিয়োগ করুন।
উদাহরণ:
\( \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান (সারু পদ্ধতি):
প্রথম দুই কলাম পুনরায় লিখে:
\( \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} \)
নিম্নমুখী (\( \searrow \)): \( (1 \cdot 5 \cdot 9) + (2 \cdot 6 \cdot 7) + (3 \cdot 4 \cdot 8) = 45 + 84 + 96 = 225 \)
ঊর্ধ্বমুখী (\( \swarrow \)): \( (3 \cdot 5 \cdot 7) + (1 \cdot 6 \cdot 8) + (2 \cdot 4 \cdot 9) = 105 + 48 + 72 = 225 \)
নির্ণায়ক \( = 225 - 225 = 0 \)
সুতরাং মান \( = 0 \)
সারল্য (Minor) ও সহগ (Cofactor)
সারল্য (Minor)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের কোনো উপাদান \( a_{ij} \) এর সারল্য \( M_{ij} \) হলো ঐ উপাদানের সারি ও কলাম বাদ দিয়ে অবশিষ্ট উপাদানগুলো দ্বারা গঠিত উপ-নির্ণায়ক।
সহগ (Cofactor)
উপাদান \( a_{ij} \) এর সহগ \( C_{ij} \) নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত: \[ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} \]
অর্থাৎ, যদি \( i+j \) জোড় হয় তবে \( C_{ij} = M_{ij} \), আর যদি বিজোড় হয় তবে \( C_{ij} = -M_{ij} \)।
উদাহরণ:
ধরি \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{bmatrix} \)
(ক) \( a_{11} = 1 \) এর সারল্য ও সহগ নির্ণয় কর।
\( M_{11} = \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 6 \end{vmatrix} = 24 - 0 = 24 \)
\( C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = (+1) \times 24 = 24 \)
(খ) \( a_{23} = 5 \) এর সারল্য ও সহগ নির্ণয় কর।
\( M_{23} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2 \)
\( C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = (-1) \times (-2) = 2 \)
নির্ণায়কের বৈশিষ্ট্যসমূহ (Properties of Determinants)
-
সারি-কলাম বিনিময়: কোনো নির্ণায়কের সারিকে কলাম ও কলামকে সারিতে রূপান্তরিত করলে নির্ণায়কের মান অপরিবর্তিত থাকে।
অর্থাৎ \( |A| = |A^T| \)
- দুই সারি/কলাম বিনিময়: নির্ণায়কের যেকোনো দুই সারি (বা দুই কলাম) বিনিময় করলে নির্ণায়কের চিহ্ন পরিবর্তিত হয় (ধনাত্মক থেকে ঋণাত্মক বা বিপরীত)।
- সমান সারি/কলাম: নির্ণায়কের যেকোনো দুই সারি (বা দুই কলাম) সমান হলে নির্ণায়কের মান শূন্য হয়।
- অনুপাতিক সারি/কলাম: নির্ণায়কের যেকোনো দুই সারি (বা দুই কলাম) পরস্পর অনুপাতিক হলে নির্ণায়কের মান শূন্য হয়।
- শূন্য সারি/কলাম: নির্ণায়কের যেকোনো একটি সারি বা কলামের সকল উপাদান শূন্য হলে নির্ণায়কের মান শূন্য হয়।
-
সারি/কলামে স্কেলার গুণন: নির্ণায়কের কোনো একটি সারি বা কলামকে \( k \) দ্বারা গুণ করলে নির্ণায়কের মান \( k \) গুণ হয়।
অর্থাৎ \( |kA| = k^n |A| \), যেখানে \( n \) হলো ক্রম।
- সারি/কলামে যোগ বিশ্লেষণ: যদি কোনো সারি বা কলামের প্রতিটি উপাদানকে দুই সংখ্যার যোগফলরূপে প্রকাশ করা যায়, তবে ঐ নির্ণায়ককে দুটি নির্ণায়কের যোগফলরূপে প্রকাশ করা যায়।
- সারি/কলামে রূপান্তর: নির্ণায়কের কোনো সারিতে (বা কলামে) অন্য কোনো সারির (বা কলামের) ধ্রুবক গুণিতক যোগ করলে নির্ণায়কের মান অপরিবর্তিত থাকে।
-
ত্রিভুজাকার নির্ণায়ক: উপরি বা নিম্ন ত্রিকোণাকার নির্ণায়কের মান \( = \) মুখ্য কর্ণের উপাদানগুলোর গুণফল।
\( \begin{vmatrix} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{vmatrix} = a \cdot d \cdot f \)
- গুণনীয়ক বিশ্লেষণ: \( |AB| = |A| \cdot |B| = |B| \cdot |A| = |BA| \)
- উল্টো ম্যাট্রিক্স: \( |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \) (যখন \( |A| \neq 0 \))
- \( |A + B| \neq |A| + |B| \) (সাধারণত)
- \( |kA| = k^n |A| \), যেখানে \( n \) হলো ম্যাট্রিক্সের ক্রম।
নির্ণায়কের প্রয়োগ (Applications of Determinants)
১. ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল (Area of a Triangle)
তিনটি বিন্দু \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \) এবং \( (x_3, y_3) \) দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল: \[ \Delta = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \]
শর্ত: তিনটি বিন্দু সরলরেখিক হলে নির্ণায়কের মান শূন্য হয়।
২. সরলরেখিক শর্ত (Condition for Collinearity)
তিনটি বিন্দু \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \) এবং \( (x_3, y_3) \) সরলরেখিক হবে যদি: \[ \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0 \]
৩. ক্রামারের সূত্র (Cramer’s Rule) - সমীকরণ সমাধানে
দুই চলক বিশিষ্ট সমীকরণ যুগল: \[ a_1x + b_1y = c_1 \] \[ a_2x + b_2y = c_2 \]
ধরি \( D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \), \( D_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} \), \( D_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} \)
যদি \( D \neq 0 \) হয়, তবে: \[ x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D} \]
উদাহরণ:
\( 2x + 3y = 8 \) এবং \( 4x - y = 2 \) সমীকরণ দুইটি ক্রামারের সূত্রে সমাধান কর।
সমাধান:
\( D = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = (2 \times -1) - (3 \times 4) = -2 - 12 = -14 \)
\( D_x = \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (8 \times -1) - (3 \times 2) = -8 - 6 = -14 \)
\( D_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = (2 \times 2) - (8 \times 4) = 4 - 32 = -28 \)
\( x = \frac{-14}{-14} = 1 \)
\( y = \frac{-28}{-14} = 2 \)
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- দ্বিতীয় ক্রম: \( \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \)
- তৃতীয় ক্রম: সারু পদ্ধতি বা সহগের সাহায্যে বিস্তারণ।
- সারল্য \( M_{ij} \): উপাদান \( a_{ij} \) এর সারি ও কলাম বাদ দিয়ে অবশিষ্ট নির্ণায়ক।
- সহগ \( C_{ij} \): \( (-1)^{i+j} M_{ij} \)
-
বিশেষ বৈশিষ্ট্য:
- \( |A| = |A^T| \)
- দুই সারি/কলাম সমান হলে মান শূন্য
- উপরি/নিম্ন ত্রিকোণাকার হলে মান \( = \) মুখ্য কর্ণের গুণফল
- \( |AB| = |A||B| \)
- \( |kA| = k^n|A| \)
- ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল: \( \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \)
- ক্রামারের সূত্র: \( x = \frac{D_x}{D} \), \( y = \frac{D_y}{D} \) (যখন \( D \neq 0 \))