৫.৭ নির্দিষ্ট যোগজের জ্যামিতিক প্রয়োগ: ক্ষেত্রফল নির্ণয়
নির্দিষ্ট যোগজের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ও বাস্তব প্রয়োগ হলো ক্ষেত্রফল নির্ণয়। এই অধ্যায়ে আমরা শিখবো কীভাবে একটি বক্ররেখা ও সমন্বয় অক্ষের মধ্যবর্তী ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, দুটি বক্ররেখার মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল এবং জটিল আকৃতির ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্দিষ্ট যোগজ ব্যবহার করে নির্ণয় করা যায়।
মৌলিক ধারণা ও সংজ্ঞা
নির্দিষ্ট যোগজের জ্যামিতিক অর্থ
যদি \(y = f(x)\) একটি সংবর্তি \([a, b]\) এ অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হয় এবং \(f(x) \geq 0\) হয়, তবে নির্দিষ্ট যোগজ \(\int_a^b f(x) \, dx\) বক্ররেখা \(y = f(x)\), \(x\)-অক্ষ এবং উলম্ব রেখা \(x = a\) ও \(x = b\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে।
সংজ্ঞা:
বক্ররেখা \(y = f(x)\), \(x\)-অক্ষ এবং রেখা \(x = a\), \(x = b\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
\[A = \int_a^b y \, dx = \int_a^b f(x) \, dx\]
শর্ত: যদি \([a, b]\) ব্যবধিতে \(f(x) \geq 0\) (অর্থাৎ বক্ররেখা \(x\)-অক্ষের উপরে থাকে)।
যখন বক্ররেখা \(x\)-অক্ষের নিচে থাকে
যদি \([a, b]\) ব্যবধিতে \(f(x) \leq 0\) হয় (অর্থাৎ বক্ররেখা \(x\)-অক্ষের নিচে থাকে), তবে যোগজের মান ঋণাত্মক হবে। কিন্তু ক্ষেত্রফল সর্বদা ধনাত্মক হওয়ায়:
\[A = \left|\int_a^b f(x) \, dx\right| = -\int_a^b f(x) \, dx\] (যখন \(f(x) \leq 0\))
যখন বক্ররেখা \(x\)-অক্ষ ছেদ করে
যদি \([a, b]\) এর ভেতরে বক্ররেখা \(x\)-অক্ষকে ছেদ করে (অর্থাৎ কিছু অংশে \(f(x) > 0\) এবং কিছু অংশে \(f(x) < 0\)), তবে প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল আলাদা করে যোগজ করে যোগ করতে হবে:
যদি \(c\) হলো \((a, b)\) এর ভেতর এমন একটি বিন্দু যেখানে \(f(c) = 0\) এবং \(f(x)\) এর চিহ্ন পরিবর্তন করে:
\[A = \int_a^c f(x) \, dx + \left|\int_c^b f(x) \, dx\right|\]
বা সম্পূর্ণ ক্ষেত্রফলের জন্য:
\[A = \int_a^b |f(x)| \, dx\]
বক্ররেখা ও অক্ষের মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল
১. \(x\)-অক্ষের সাপেক্ষে ক্ষেত্রফল
বক্ররেখা \(y = f(x)\), \(x\)-অক্ষ এবং রেখা \(x = a\) ও \(x = b\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্র:
\[A = \int_a^b y \, dx = \int_a^b f(x) \, dx\] (যখন \(y \geq 0\))
২. \(y\)-অক্ষের সাপেক্ষে ক্ষেত্রফল
বক্ররেখা \(x = f(y)\) বা \(x = g(y)\), \(y\)-অক্ষ এবং রেখা \(y = c\) ও \(y = d\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্র:
\[A = \int_c^d x \, dy = \int_c^d f(y) \, dy\] (যখন \(x \geq 0\))
উদাহরণ ১:
বক্ররেখা \(y = x^2\), \(x\)-অক্ষ এবং রেখা \(x = 1\) ও \(x = 3\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
\([1, 3]\) ব্যবধিতে \(y = x^2 \geq 0\) (সর্বদা \(x\)-অক্ষের উপরে)
\[A = \int_1^3 x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3 = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}\] বর্গ একক।
উদাহরণ ২:
বক্ররেখা \(y = x^2 - 4\), \(x\)-অক্ষ এবং রেখা \(x = 0\) ও \(x = 3\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
প্রথমে \(y = 0\) রেখে ছেদ বিন্দু নির্ণয় করি: \(x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2\)
\([0, 3]\) ব্যবধিতে \(x = 2\) এ বক্ররেখা \(x\)-অক্ষকে ছেদ করে।
- \([0, 2]\) তে: \(y = x^2 - 4 \leq 0\) (নিচে)
- \([2, 3]\) তে: \(y = x^2 - 4 \geq 0\) (উপরে)
\[A = \left|\int_0^2 (x^2-4) \, dx\right| + \int_2^3 (x^2-4) \, dx\]
\[= \left|\left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_0^2\right| + \left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_2^3\]
\[= \left|\frac{8}{3} - 8\right| + \left[\left(9-12\right) - \left(\frac{8}{3}-8\right)\right]\]
\[= \left|-\frac{16}{3}\right| + \left[-3 + \frac{16}{3}\right] = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3}\] বর্গ একক।
দুটি বক্ররেখার মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল
সাধারণ সূত্র
যদি \(y = f(x)\) ও \(y = g(x)\) দুটি বক্ররেখা হয় এবং \([a, b]\) ব্যবধিতে \(f(x) \geq g(x)\), তবে:
\[A = \int_a^b [f(x) - g(x)] \, dx\]
বা \(\int_a^b (y_{\text{উপরের}} - y_{\text{নিচের}}) \, dx\)
যদি বক্ররেখাদ্বয় পরস্পরকে \((a, c)\) ও \((c, b)\) বিন্দুতে ছেদ করে এবং মাঝে উপরের ও নিচের অবস্থান পরিবর্তন করে, তবে:
\[A = \int_a^c [f(x) - g(x)] \, dx + \int_c^b [g(x) - f(x)] \, dx\]
(সবসময় বড় ফাংশন থেকে ছোট ফাংশন বিয়োগ করে ধনাত্মক ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে)
উদাহরণ ১:
বক্ররেখাদ্বয় \(y = x^2\) ও \(y = 2x\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
ছেদ বিন্দু: \(x^2 = 2x \Rightarrow x(x-2) = 0 \Rightarrow x = 0, 2\)
\([0, 2]\) ব্যবধিতে \(2x \geq x^2\) (সরলরেখা পরাবৃত্তের উপরে)
\[A = \int_0^2 (2x - x^2) \, dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2\]
\[= \left(4 - \frac{8}{3}\right) - 0 = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3}\] বর্গ একক।
উদাহরণ ২:
বক্ররেখাদ্বয় \(y = x^3\) ও \(y = x\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
ছেদ বিন্দু: \(x^3 = x \Rightarrow x(x^2-1) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm 1\)
চিত্রাঙ্কন করে দেখা যায় যে ক্ষেত্র দুটি ভাগে বিভক্ত: \([-1, 0]\) এবং \([0, 1]\)
- \([-1, 0]\) তে: \(x^3 \geq x\) (যেমন \(x = -0.5\) এ \((-0.5)^3 = -0.125 > -0.5\))
- \([0, 1]\) তে: \(x \geq x^3\)
জোড় সৌষ্ঠবের কারণে দুটি অংশ সমান, সুতরাং একটি অংশের দ্বিগুণ:
\[A = 2\int_0^1 (x - x^3) \, dx = 2\left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right]_0^1\]
\[= 2\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\] বর্গ একক।
\(y\)-অক্ষের সাপেক্ষে ক্ষেত্রফল
কিছু ক্ষেত্রে বক্ররেখাটিকে \(x = f(y)\) আকারে প্রকাশ করে \(y\)-অক্ষের সাপেক্ষে যোগজ করা সহজ হয়। বিশেষত যখন একই \(x\) এর জন্য একাধিক \(y\) মান থাকে বা যখন ক্ষেত্রটি \(y\)-অক্ষের দিকে লম্বায় বেশি প্রসারিত।
বক্ররেখা \(x = f(y)\), \(y\)-অক্ষ এবং রেখা \(y = c\) ও \(y = d\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্র:
\[A = \int_c^d x \, dy = \int_c^d f(y) \, dy\]
উদাহরণ:
পরাবৃত্ত \(y^2 = 4x\) এবং রেখা \(y = 2x\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
ছেদ বিন্দু: \((2x)^2 = 4x \Rightarrow 4x^2 = 4x \Rightarrow x = 0, 1\)
সংগত \(y = 0, 2\)
\(y\)-অক্ষের সাপেক্ষে: \(x = \frac{y^2}{4}\) এবং \(x = \frac{y}{2}\)
\([0, 2]\) ব্যবধিতে \(\frac{y}{2} \geq \frac{y^2}{4}\)
\[A = \int_0^2 \left(\frac{y}{2} - \frac{y^2}{4}\right) dy = \left[\frac{y^2}{4} - \frac{y^3}{12}\right]_0^2\]
\[= \left(1 - \frac{8}{12}\right) = \frac{1}{3}\] বর্গ একক।
বিশেষ বক্ররেখার ক্ষেত্রফল
বৃত্ত ও বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল
বৃত্ত \(x^2 + y^2 = a^2\) এর ক্ষেত্রফল:
প্রথম চতুর্ভাগের ক্ষেত্রফল: \(A = \int_0^a \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{\pi a^2}{4}\)
সম্পূর্ণ বৃত্তের ক্ষেত্রফল: \(\pi a^2\)
উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল
উপবৃত্ত \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) এর ক্ষেত্রফল:
\[A = \pi ab\]
(যেখানে \(a\) ও \(b\) হলো বৃহৎ ও ক্ষুদ্র অর্ধাক্ষের দৈর্ঘ্য)
উদাহরণ:
উপবৃত্ত \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
এখানে \(a = 3\), \(b = 2\)
\[A = \pi \times 3 \times 2 = 6\pi\] বর্গ একক।
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- মৌলিক সূত্র: \(x\)-অক্ষের সাপেক্ষে \(A = \int_a^b y \, dx\); \(y\)-অক্ষের সাপেক্ষে \(A = \int_c^d x \, dy\)
- চিহ্নের যত্ন: যদি বক্ররেখা \(x\)-অক্ষের নিচে থাকে, তবে ক্ষেত্রফল \(= \left|\int_a^b y \, dx\right|\) অথবা সীমা বিনিময় করে ধনাত্মক মান নিন।
- ছেদ বিন্দু: দুটি বক্ররেখার মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফলের জন্য প্রথমে ছেদ বিন্দু নির্ণয় করে সীমা নির্ধারণ করুন।
- উপরে ও নিচে: দুটি বক্ররেখার ক্ষেত্রে সর্বদা \(A = \int_a^b (y_{\text{উপরে}} - y_{\text{নিচে}}) \, dx\) প্রয়োগ করুন।
- অক্ষ পরিবর্তন: যদি \(x\) অনুরূপে প্রকাশ করা কঠিন হয় (যেমন \(y^2 = 4ax\)), তবে \(y\) এর সাপেক্ষে যোগজ করুন।
- বিশেষ সূত্র: বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(\pi r^2\), উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(\pi ab\)।