উদাহরণ ১:

\( 2\sin 75^\circ \cos 15^\circ \) কে যোগফলের আকারে প্রকাশ করুন এবং মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:

সূত্র প্রয়োগ করে যেখানে \( A = 75^\circ \), \( B = 15^\circ \):

\[ 2\sin 75^\circ \cos 15^\circ = \sin(75^\circ + 15^\circ) + \sin(75^\circ - 15^\circ) \]

\[ = \sin 90^\circ + \sin 60^\circ \]

\[ = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \]

উদাহরণ ২:

\( \cos 105^\circ \cos 15^\circ \) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:

প্রথমে 2 দিয়ে গুণ ও ভাগ করে:

\[ \cos 105^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \cdot 2\cos 105^\circ \cos 15^\circ \]

\[ = \frac{1}{2}[\cos(105^\circ + 15^\circ) + \cos(105^\circ - 15^\circ)] \]

\[ = \frac{1}{2}[\cos 120^\circ + \cos 90^\circ] \]

\[ = \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2} + 0\right] \]

\[ = -\frac{1}{4} \]

উদাহরণ ৩:

\( \sin 50^\circ \sin 70^\circ \) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:

\[ \sin 50^\circ \sin 70^\circ = \frac{1}{2} \cdot 2\sin 50^\circ \sin 70^\circ \]

\[ = \frac{1}{2}[\cos(50^\circ - 70^\circ) - \cos(50^\circ + 70^\circ)] \]

\[ = \frac{1}{2}[\cos(-20^\circ) - \cos 120^\circ] \]

\[ = \frac{1}{2}[\cos 20^\circ - (-\frac{1}{2})] \]

\[ = \frac{1}{2}\left[\cos 20^\circ + \frac{1}{2}\right] \]

\[ = \frac{1}{2}\cos 20^\circ + \frac{1}{4} \]

উদাহরণ ৪:

\( \sin 75^\circ + \sin 15^\circ \) কে গুণফলের আকারে প্রকাশ করুন এবং মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:

এখানে \( C = 75^\circ \), \( D = 15^\circ \)

\[ \frac{C+D}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \]

\[ \frac{C-D}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \]

সূত্র প্রয়োগ করে:

\[ \sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2\sin 45^\circ \cos 30^\circ \]

\[ = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \]

উদাহরণ ৫:

\( \cos 105^\circ - \cos 15^\circ \) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:

\[ \frac{C+D}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \]

\[ \frac{C-D}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \]

সূত্র প্রয়োগ করে:

\[ \cos 105^\circ - \cos 15^\circ = -2\sin 60^\circ \sin 45^\circ \]

\[ = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \]

\[ = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{6}}{2} \]

উদাহরণ ৬ (সমীকরণ সমাধানে প্রয়োগ):

সমাধান করুন: \( \sin 5x + \sin 3x = 0 \)

সমাধান:

বামপক্ষকে গুণফলের আকারে লিখি:

\[ 2\sin\left(\frac{5x+3x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x-3x}{2}\right) = 0 \]

\[ 2\sin 4x \cos x = 0 \]

সুতরাং হয় \( \sin 4x = 0 \) অথবা \( \cos x = 0 \)

যদি \( \sin 4x = 0 \), তবে \( 4x = n\pi \Rightarrow x = \frac{n\pi}{4} \)

যদি \( \cos x = 0 \), তবে \( x = \frac{(2n+1)\pi}{2} \)

উদাহরণ ৭:

প্রমাণ করুন: \( \frac{\sin A + \sin B}{\cos A + \cos B} = \tan\left(\frac{A+B}{2}\right) \)

সমাধান:

বামপক্ষ:

\[ \frac{2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)}{2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)} \]

\[ = \frac{\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)}{\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)} = \tan\left(\frac{A+B}{2}\right) \]

∴ প্রমাণিত।

উদাহরণ ৮:

প্রমাণ করুন: \( \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ = \frac{3}{16} \)

সমাধান:

প্রথমে \( \sin 20^\circ \sin 40^\circ \) নিলাম:

\[ = \frac{1}{2}[\cos(20^\circ-40^\circ) - \cos(20^\circ+40^\circ)] \]

\[ = \frac{1}{2}[\cos 20^\circ - \cos 60^\circ] \quad \text{(কারণ } \cos(-20^\circ) = \cos 20^\circ \text{)} \]

\[ = \frac{1}{2}\left[\cos 20^\circ - \frac{1}{2}\right] \]

এখন এই ফলাফলের সাথে \( \sin 80^\circ \) গুণ করি:

\[ \frac{1}{2}\left(\cos 20^\circ - \frac{1}{2}\right) \sin 80^\circ \]

\[ = \frac{1}{2}\cos 20^\circ \sin 80^\circ - \frac{1}{4}\sin 80^\circ \]

প্রথম পদে \( 2\cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B) \) সূত্র প্রয়োগ:

\[ = \frac{1}{4}[\sin 100^\circ - \sin(-60^\circ)] - \frac{1}{4}\sin 80^\circ \]

\[ = \frac{1}{4}[\sin 100^\circ + \sin 60^\circ] - \frac{1}{4}\sin 80^\circ \]

যেহেতু \( \sin 100^\circ = \sin(180^\circ-80^\circ) = \sin 80^\circ \), তাই:

\[ = \frac{1}{4}\sin 80^\circ + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{4}\sin 80^\circ \]

\[ = \frac{\sqrt{3}}{8} \]

এখন \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) দিয়ে গুণ করলে:

\[ \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{16} \]