৫.৬ নির্দিষ্ট যোগজ ও এর বৈশিষ্ট্য (Definite Integrals)
নির্দিষ্ট যোগজ (Definite Integral) হলো একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা যা একটি ফাংশনের নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে আচরণ পরিমাপ করে। অনির্দিষ্ট যোগজ থেকে পার্থক্য হলো এখানে নিম্ন ও উর্ধ্ব সীমা থাকে এবং ফলাফলে কোনো যোগজ ধ্রুবক \(C\) থাকে না। এই অধ্যায়ে আমরা নির্দিষ্ট যোগজের মূল উপপাদ্য এবং যোগজ নির্ণয়ে সহায়ক বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য শিখব।
নির্দিষ্ট যোগজের সংজ্ঞা ও মূল্যায়ন
সংজ্ঞা
যদি \(f(x)\) একটি সংবর্তি \([a, b]\) এ অন্তরীকরণযোগ্য ফাংশন হয় এবং \(F(x)\) হলো \(f(x)\) এর একটি প্রতি-অন্তরজ (অর্থাৎ \(F'(x) = f(x)\)), তবে \(f(x)\) এর \(a\) থেকে \(b\) পর্যন্ত নির্দিষ্ট যোগজ সংজ্ঞায়িত হয়:
\[\int_a^b f(x) \, dx\]
যেখানে:
- \(a\) = নিম্ন সীমা (Lower limit)
- \(b\) = উর্ধ্ব সীমা (Upper limit)
- \([a, b]\) = সংবর্তি বা ব্যবধি (Interval)
মূল্যায়ন উপপাদ্য (Fundamental Theorem - Part 2)
নির্দিষ্ট যোগজ নির্ণয়ের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সূত্র:
\[\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) = [F(x)]_a^b\]
যেখানে \(F(x)\) হলো \(f(x)\) এর যেকোনো একটি প্রতি-অন্তরজ।
উদাহরণ:
\(\int_1^3 x^2 \, dx\) নির্ণয় করো।
সমাধান:
\(f(x) = x^2\) এর প্রতি-অন্তরজ \(F(x) = \frac{x^3}{3}\)
\[\int_1^3 x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}\]
নির্দিষ্ট যোগজের বৈশিষ্ট্যসমূহ (Properties)
মৌলিক বৈশিষ্ট্য
১. সীমা বিনিময় বৈশিষ্ট্য (Interchange of Limits)
\[\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx\]
নিম্ন ও উর্ধ্ব সীমা বিনিময় করলে যোগজের চিহ্ন পরিবর্তন হয়।
২. সমান সীমার বৈশিষ্ট্য (Zero Width Interval)
\[\int_a^a f(x) \, dx = 0\]
নিম্ন ও উর্ধ্ব সীমা সমান হলে যোগজ শূন্য হয়।
৩. ব্যবধি যোগ বৈশিষ্ট্য (Additivity of Intervals)
\[\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx\]
যেখানে \(a < c < b\) অথবা \(c\) যেকোনো বাস্তব সংখ্যা।
এই বৈশিষ্ট্য ব্যবধিকে ভাগ করে যোগজ করার জন্য ব্যবহৃত হয়।
৪. রৈখিক বৈশিষ্ট্য (Linearity)
ধ্রুবক গুণনীয়ক: \(\int_a^b kf(x) \, dx = k\int_a^b f(x) \, dx\) (যেকোনো ধ্রুবক \(k\) এর জন্য)
যোগ/বিয়োগ: \(\int_a^b [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int_a^b f(x) \, dx \pm \int_a^b g(x) \, dx\)
৫. তুলনামূলক বৈশিষ্ট্য (Comparison Properties)
- যদি \([a,b]\) ব্যবধিতে \(f(x) \geq 0\) হয়, তবে \(\int_a^b f(x) \, dx \geq 0\) (যেখানে \(a < b\))
- যদি \([a,b]\) ব্যবধিতে \(f(x) \geq g(x)\) হয়, তবে \(\int_a^b f(x) \, dx \geq \int_a^b g(x) \, dx\)
- \(\left|\int_a^b f(x) \, dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| \, dx\)
চলক রূপান্তর সংক্রান্ত বৈশিষ্ট্য
৬. সীমা প্রতিস্থাপন বৈশিষ্ট্য (Property of Substitution)
\[\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(a+b-x) \, dx\]
বিশেষত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের যোগজে অত্যন্ত কার্যকর। যেমন: \(\int_0^{\pi/2} \sin x \, dx = \int_0^{\pi/2} \sin(\frac{\pi}{2}-x) \, dx = \int_0^{\pi/2} \cos x \, dx\)
৭. বিশেষ ক্ষেত্র (Special Cases)
\[\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx\]
এটি উপরের সূত্রের একটি বিশেষ রূপ (যেখানে নিম্ন সীমা 0)।
উদাহরণ:
দেখাও যে \(\int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx = \frac{\pi}{4}\)
সমাধান:
ধরি \(I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx\)
\(x \to (\frac{\pi}{2} - x)\) প্রতিস্থাপনে:
\(I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin(\frac{\pi}{2}-x) + \cos(\frac{\pi}{2}-x)} \, dx = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \, dx\)
দুটি সমীকরণ যোগ করে:
\(2I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} \, dx = \int_0^{\pi/2} dx = \frac{\pi}{2}\)
সুতরাং \(I = \frac{\pi}{4}\)
জোড় ও বিজোড় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য
৮. জোড় ফাংশন (Even Function: \(f(-x) = f(x)\))
\[\int_{-a}^a f(x) \, dx = 2\int_0^a f(x) \, dx\]
যেমন: \(x^2\), \(\cos x\), \(|x|\) ইত্যাদি।
৯. বিজোড় ফাংশন (Odd Function: \(f(-x) = -f(x)\))
\[\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0\]
যেমন: \(x^3\), \(\sin x\), \(\tan x\), \(x\cos x\) ইত্যাদি।
বিজোড় ফাংশনের গ্রাফ মূলবিন্দুতে সৌষ্ঠব থাকে, ফলে \(-a\) থেকে \(0\) এবং \(0\) থেকে \(a\) পর্যন্ত ক্ষেত্রফল পরস্পর বিয়োগ করে শূন্য হয়।
উদাহরণ:
\(\int_{-1}^1 (x^3 + x^2) \, dx\) নির্ণয় করো।
সমাধান:
\(f(x) = x^3\) বিজোড় ফাংশন, সুতরাং \(\int_{-1}^1 x^3 \, dx = 0\)
\(g(x) = x^2\) জোড় ফাংশন, সুতরাং \(\int_{-1}^1 x^2 \, dx = 2\int_0^1 x^2 \, dx = 2[\frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{2}{3}\)
সুতরাং মোট যোগজ \(= 0 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\)
পর্যায়বৃত্ত ফাংশনের বৈশিষ্ট্য
১০. পর্যায়বৃত্ত ফাংশন (Periodic Function)
যদি \(f(x)\) এর পর্যায় \(T\) হয় (অর্থাৎ \(f(x+T) = f(x)\)), তবে:
\[\int_a^{a+T} f(x) \, dx = \int_0^T f(x) \, dx = \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \, dx\]
এবং \(\int_a^{a+nT} f(x) \, dx = n\int_0^T f(x) \, dx\) (যেকোনো পূর্ণসংখ্যা \(n\) এর জন্য)
ওয়ালিস সূত্র (Wallis Formulas)
\(\sin^n x\) ও \(\cos^n x\) এর \(0\) থেকে \(\frac{\pi}{2}\) পর্যন্ত নির্দিষ্ট যোগজের জন্য বিশেষ সূত্রসমূহ:
যদি \(n\) বিজোড় ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়:
\[\int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx = \int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3} \cdot 1\]
যদি \(n\) জোড় ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়:
\[\int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx = \int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}\]
উদাহরণ:
\(\int_0^{\pi/2} \sin^6 x \, dx\) নির্ণয় করো।
সমাধান:
এখানে \(n = 6\) (জোড়)
\[= \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{15\pi}{96} = \frac{5\pi}{32}\]
উদাহরণ:
\(\int_0^{\pi/2} \cos^7 x \, dx\) নির্ণয় করো।
সমাধান:
এখানে \(n = 7\) (বিজোড়)
\[= \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{48}{105} = \frac{16}{35}\]
অতিরিক্ত গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য
১১. \(\int_0^{2a} f(x) \, dx\) এর বৈশিষ্ট্য
\[\int_0^{2a} f(x) \, dx = \int_0^a f(x) \, dx + \int_0^a f(2a-x) \, dx\]
বিশেষত:
- যদি \(f(2a-x) = f(x)\) হয়, তবে \(\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2\int_0^a f(x) \, dx\)
- যদি \(f(2a-x) = -f(x)\) হয়, তবে \(\int_0^{2a} f(x) \, dx = 0\)
উদাহরণ:
\(\int_0^\pi \sin x \, dx = 2\int_0^{\pi/2} \sin x \, dx\) কেননা \(\sin(\pi-x) = \sin x\)
\(= 2[-\cos x]_0^{\pi/2} = 2(0+1) = 2\)
১২. লেইবনিত্জ নিয়ম (Differentiation under Integral Sign)
যদি সীমা চলকের উপর নির্ভরশীল হয়:
\[\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \, dt = f(v(x)) \cdot v'(x) - f(u(x)) \cdot u'(x)\]
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- মূল্যায়ন: \(\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\); ফলাফল একটি সংখ্যা, ধ্রুবক থাকে না।
- সীমা বিনিময়: \(\int_a^b = -\int_b^a\); সমান সীমা \(\int_a^a = 0\)
- ব্যবধি যোগ: \(\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b\)
- জোড় ফাংশন: \(\int_{-a}^a f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx\) [যখন \(f(-x)=f(x)\)]
- বিজোড় ফাংশন: \(\int_{-a}^a f(x) dx = 0\) [যখন \(f(-x)=-f(x)\)]
- প্রতিস্থাপন: \(\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx\) এবং \(\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx\)
- ওয়ালিস সূত্র: \(\int_0^{\pi/2} \sin^n x dx\) বা \(\cos^n x dx\) এর ক্ষেত্রে জোড়/বিজোড় অনুসারে \(\frac{\pi}{2}\) সংযোজন।