বৃত্ত (Circle)
বৃত্ত হলো একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত বিন্দুদের সঞ্চারপথ। এই অধ্যায়ে আমরা মূলবিন্দুতে কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ, নির্দিষ্ট কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ (বা ব্যাস) বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ, বৃত্ত দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিত অংশ, দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করার শর্ত এবং পোলার স্থানাঙ্কে বৃত্তের সমীকরণ সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করব।
বৃত্তের সংজ্ঞা ও মৌলিক উপাদান
বৃত্তের সংজ্ঞা
কোনো সমতলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \( O \) থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব \( r \) এ অবস্থিত সকল বিন্দুর সঞ্চারপথকে বৃত্ত বলে। নির্দিষ্ট বিন্দু \( O \) হলো বৃত্তের কেন্দ্র এবং নির্দিষ্ট দূরত্ব \( r \) হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
অর্থাৎ, বৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু \( P(x, y) \) এর জন্য \( |OP| = r \) শর্তটি সত্য হতে হবে।
বৃত্তের বিভিন্ন অংশ
- কেন্দ্র (Center): বৃত্তের সমস্ত বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী বিন্দু।
- ব্যাসার্ধ (Radius): কেন্দ্র থেকে পরিধির যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব।
- ব্যাস (Diameter): কেন্দ্রের ওপর দিয়ে গিয়ে পরিধির দুই বিন্দুকে সংযোগকারী রেখাংশ। এর দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ, \( d = 2r \)।
- জ্যা (Chord): পরিধির যেকোনো দুই বিন্দুর সংযোগকারী রেখাংশ।
- পরিধি (Circumference): বৃত্তের সীমানা।
মূলবিন্দুতে কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ
মনে করি, বৃত্তের কেন্দ্র কার্তেসীয় সমতলের মূলবিন্দু \( O(0, 0) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r \)। বৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু \( P(x, y) \)।
সংজ্ঞা অনুসারে \( OP = r \)। দুই বিন্দুর মধ্যে দূরত্বের সূত্র ব্যবহার করে পাই:
\[ \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = r \]
বর্গ করে সরলীকরণ করলে:
মূলবিন্দুতে কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
এখানে \( r > 0 \)। যদি \( r = 1 \) হয়, তবে \( x^2 + y^2 = 1 \) কে একক বৃত্ত (Unit Circle) বলা হয়।
উদাহরণ ১:
মূলবিন্দুকে কেন্দ্র করে \( 4 \) একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ লেখ।
সমাধান:
\[ x^2 + y^2 = 4^2 \]
\[ x^2 + y^2 = 16 \]
উদাহরণ ২:
বৃত্ত \( x^2 + y^2 = 25 \) এর ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ r^2 = 25 \implies r = 5 \]
নির্দিষ্ট কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ
মনে করি, বৃত্তের কেন্দ্র \( C(h, k) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r \)। বৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু \( P(x, y) \)।
সংজ্ঞা অনুযায়ী \( |CP| = r \)। দূরত্ব সূত্র প্রয়োগ করে:
\[ \sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = r \]
উভয় পক্ষ বর্গ করে পাই:
নির্দিষ্ট কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ:
\[ (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \]
একে বৃত্তের মানক সমীকরণ বলা হয়। যদি ব্যাস \( d \) দেওয়া থাকে, তবে \( r = \dfrac{d}{2} \) বসিয়ে উপরের সমীকরণ ব্যবহার করা হয়।
সাধারণ রূপ (General Form)
মানক সমীকরণের বন্ধনী খুললে আমরা বৃত্তের সাধারণ রূপ পাই:
\[ x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \]
যেখানে কেন্দ্র \( (-g, -f) \) এবং ব্যাসার্ধ \( \sqrt{g^2 + f^2 - c} \)।
শর্ত: বাস্তব বৃত্তের জন্য \( g^2 + f^2 - c > 0 \)।
উদাহরণ ৩:
কেন্দ্র \( (2, -3) \) এবং ব্যাসার্ধ \( 5 \) বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ (x-2)^2 + (y-(-3))^2 = 5^2 \]
\[ (x-2)^2 + (y+3)^2 = 25 \]
বিকাশ করে:
\[ x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 25 \]
\[ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 \]
উদাহরণ ৪:
\( x^2 + y^2 + 6x - 2y + 1 = 0 \) বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ 2g = 6 \implies g = 3 \]
\[ 2f = -2 \implies f = -1 \]
\[ c = 1 \]
কেন্দ্র \( (-3, 1) \)
ব্যাসার্ধ \( = \sqrt{9 + 1 - 1} = 3 \)
বৃত্ত দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিত অংশ
কোনো বৃত্ত \( x \)-অক্ষ এবং \( y \)-অক্ষকে যে দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট অংশে ছেদ করে, তাকে বৃত্ত দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিত অংশ বলা হয়।
সাধারণ সমীকরণ থেকে অক্ষছেদ
বৃত্তের সমীকরণ \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \)।
\( x \)-অক্ষ বরাবর খন্ডিত অংশ: \( x \)-অক্ষের উপর \( y = 0 \) বসিয়ে পাই: \( x^2 + 2gx + c = 0 \)।
এই দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় \( x_1 \) ও \( x_2 \) হলে, \( x \)-অক্ষের খন্ডিত অংশ \( AB = |x_1 - x_2| \)।
\[ AB = 2\sqrt{g^2 - c} \]
যদি \( g^2 - c > 0 \) হয়।
\( y \)-অক্ষ বরাবর খন্ডিত অংশ: অনুরূপভাবে, \( x = 0 \) বসিয়ে \( y^2 + 2fy + c = 0 \) থেকে:
\[ CD = 2\sqrt{f^2 - c} \]
যদি \( f^2 - c > 0 \) হয়।
মানক সমীকরণ থেকে অক্ষছেদ
বৃত্ত \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \) এর ক্ষেত্রে:
- \( x \)-অক্ষের খন্ডিত অংশ \( = 2\sqrt{r^2 - k^2} \)
- \( y \)-অক্ষের খন্ডিত অংশ \( = 2\sqrt{r^2 - h^2} \)
লক্ষণীয়: মূলবিন্দুতে কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের জন্য \( h = k = 0 \), তাই উভয় অক্ষে খন্ডিত অংশ \( 2r \)।
উদাহরণ ৫:
বৃত্ত \( x^2 + y^2 + 4x - 2y - 5 = 0 \) দ্বারা \( x \)-অক্ষ ও \( y \)-অক্ষের খন্ডিত অংশ নির্ণয় কর।
সমাধান:
এখানে \( g = 2 \), \( f = -1 \), \( c = -5 \)
\[ x \text{-অক্ষের খন্ডিত অংশ} = 2\sqrt{2^2 - (-5)} = 2\sqrt{9} = 6 \]
\[ y \text{-অক্ষের খন্ডিত অংশ} = 2\sqrt{(-1)^2 - (-5)} = 2\sqrt{6} \]
দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করার শর্ত
দুটি বৃত্তের কেন্দ্র \( C_1, C_2 \) এবং ব্যাসার্ধ \( r_1, r_2 \)। ধরি, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \( d = C_1C_2 \)।
বহিঃস্থ স্পর্শ (External Touch)
দুটি বৃত্ত একটি বিন্দুতে বাইরের দিকে স্পর্শ করে। শর্ত:
\[ d = r_1 + r_2 \]
অন্তঃস্থ স্পর্শ (Internal Touch)
একটি বৃত্ত অপর বৃত্তের ভেতরে থেকে একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে। শর্ত:
\[ d = |r_1 - r_2| \]
অন্যান্য অবস্থা
- যদি \( d > r_1 + r_2 \) হয়, বৃত্তদ্বয় আলাদা এবং ছেদ বা স্পর্শ করে না।
- যদি \( |r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2 \) হয়, বৃত্তদ্বয় দুটি বিন্দুতে ছেদ করে।
- যদি \( d < |r_1 - r_2| \) হয়, একটি বৃত্ত অপরটির ভেতরে অবস্থান করে, স্পর্শ করে না।
- যদি \( d = 0 \) এবং \( r_1 \neq r_2 \) হয়, বৃত্তদ্বয় সমকেন্দ্রিক।
উদাহরণ ৬:
বৃত্তদ্বয় \( x^2 + y^2 = 9 \) এবং \( (x-8)^2 + y^2 = 4 \) পরস্পরকে স্পর্শ করে কি? স্পর্শ করলে কীভাবে স্পর্শ করে?
সমাধান:
প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র \( (0,0) \), ব্যাসার্ধ \( r_1 = 3 \)
দ্বিতীয় বৃত্তের কেন্দ্র \( (8,0) \), ব্যাসার্ধ \( r_2 = 2 \)
কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \( d = \sqrt{(8-0)^2 + (0-0)^2} = 8 \)
\[ r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5 \neq 8 \]
\[ |r_1 - r_2| = 1 \neq 8 \]
যেহেতু \( d > r_1+r_2 \), বৃত্তদ্বয় আলাদা এবং স্পর্শ করে না।
উদাহরণ ৭:
প্রমাণ কর যে বৃত্তদ্বয় \( x^2 + y^2 = 25 \) এবং \( (x-6)^2 + y^2 = 1 \) পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
সমাধান:
\( C_1 = (0,0), r_1 = 5 \)
\( C_2 = (6,0), r_2 = 1 \)
\[ d = \sqrt{(6-0)^2 + 0^2} = 6 \]
\[ r_1 + r_2 = 5 + 1 = 6 = d \]
সুতরাং বৃত্তদ্বয় বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
পোলার স্থানাঙ্কে বৃত্তের সমীকরণ
কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের মতো পোলার স্থানাঙ্কেও বৃত্তের সমীকরণ প্রকাশ করা যায়। মনে করি, পোলার স্থানাঙ্কের মেরু \( O \) এবং প্রারম্ভিক রেখা \( OX \)।
১. মেরুতে কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্ত
যদি বৃত্তের কেন্দ্র মেরু \( O \) হয় এবং ব্যাসার্ধ \( a \) হয়, তবে বৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু \( P(r, \theta) \) এর জন্য \( r = a \)।
\[ r = a \]
২. মেরুগামী বৃত্ত, কেন্দ্র প্রারম্ভিক রেখার উপর
যদি কেন্দ্র \( (a, 0) \) হয় এবং মেরু \( O \) বৃত্তের উপর থাকে, তবে বৃত্তের সমীকরণ:
\[ r = 2a\cos\theta \]
অনুরূপভাবে, কেন্দ্র \( \left(a, \dfrac{\pi}{2}\right) \) হলে \( r = 2a\sin\theta \)।
৩. সাধারণ পোলার সমীকরণ
বৃত্তের কেন্দ্রের পোলার স্থানাঙ্ক \( (c, \alpha) \) এবং ব্যাসার্ধ \( a \)। বৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু \( P(r, \theta) \) নিলে ত্রিভুজ \( OCP \)-এ কোসাইনের সূত্র প্রয়োগ করে:
\[ r^2 - 2cr\cos(\theta - \alpha) + c^2 = a^2 \]
বা,
\[ r^2 - 2cr\cos(\theta - \alpha) + (c^2 - a^2) = 0 \]
এই সমীকরণটি পোলার স্থানাঙ্কে বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ।
৪. কার্তেসীয় সমীকরণ থেকে পোলার সমীকরণে রূপান্তর
কার্তেসীয় সমীকরণ \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \)-এ \( x = r\cos\theta \) এবং \( y = r\sin\theta \) বসিয়ে পাই:
\[ r^2 + 2r(g\cos\theta + f\sin\theta) + c = 0 \]
উদাহরণ ৮:
পোলার সমীকরণ \( r = 6\cos\theta \) দ্বারা নির্দেশিত বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ r = 6\cos\theta \]
\[ r^2 = 6r\cos\theta \]
\[ x^2 + y^2 = 6x \]
\[ (x-3)^2 + y^2 = 9 \]
কেন্দ্র \( (3,0) \), ব্যাসার্ধ \( 3 \)। পোলার স্থানাঙ্কে কেন্দ্র \( (3,0) \)।
সংক্ষিপ্ত সারাংশ (Summary)
মূলবিন্দুতে কেন্দ্র
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
নির্দিষ্ট কেন্দ্র
\[ (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \]
সাধারণ সমীকরণ
\[ x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \]
কেন্দ্র \( (-g,-f) \)
অক্ষছেদ
\( x \)-অক্ষ: \( 2\sqrt{g^2-c} \)
\( y \)-অক্ষ: \( 2\sqrt{f^2-c} \)
স্পর্শ শর্ত
বহিঃস্পর্শ: \( d = r_1+r_2 \)
অন্তঃস্পর্শ: \( d = |r_1-r_2| \)
পোলার সমীকরণ
মেরুতে কেন্দ্র: \( r = a \)
মেরুগামী: \( r = 2a\cos\theta \)